摘要本文用畢卡逐次逼近法及數學分析知識，證明「隱函式存在定理」和一階方程初值問題解的非區域性存在性定理。
一·畢卡逐次逼近法證明隱函式存在定理
定理1· 設滿足下列條件：
（i）在上連續；
（ii）（通常稱為初始條件）
（iii）對，恒有；
（iv）在d上：即對d上任意兩點，不等式
1恆成立，l是與和無關的正常數
則在區間唯一確定乙個隱函式，滿足。這個函式在上連續可微。其中
2）3）
證明：若在上能唯一確定可導的隱函式，則有,方程兩邊對x求導，得
。由，得 。
因此，在上能確定唯一可導的隱函式，等價於初值問題
在上有唯一解。
簡記，下面分4段證明之。
（1） 構造乙個近似解的序列。
用4）代替中的y，則
5）其右邊是的已知函式，對（5）兩邊積分（顯然在d上連續，故可積），並令它滿足
於是得到6）
它區間上連續。
一般來說，它並不正好是（*）的解，稱它為（*）的第1次近似解，記為
7）並稱（4）為（*）的第0次近似解。
現在估算由（7）確定的函式的界限：
……（8）
所以，當時，有，即有。
這就推知，當時，，於是有定義，並且是x在
上的連續函式。
考慮得到第2次近似解
同理可證，當時，有，即
如此下去，可得到第n次近似解:
9）易知當時有
……（10）
從而。由歸納法，定義了無窮序列
11）每個函式在連續，且， （＝0，1，2，……）
（2）· 證明{}在上一致收斂。
當時，n=2,312）
由數學歸納法易證明
13）事實上，當n=1時，由（8）知（13）成立；
假設，當n=k時成立，即
則由（12）知
＝即證明了（13）當n=k+1時也成立。
由（13），當時，有
易知，正項級數收斂，由-判別法知級數在
上一致收斂。即在上一致收斂，將其極限函式記為
即14）
又連續函式的一致收斂極限函式也必定是連續函式，故在上連續，且，
所以當時，。
（3）· 證明上述的確是（*）的解。
即15）
從而有（4）·證明（*）的解的唯一性。
設與都是（*）的解，公共區間為，則有
16）17）
由（16）－（17）得
記18）
於是，上式可改寫為 ，
兩邊乘以，即有
兩邊從到積分，且由得到，又，故。又由（18）知，所以知。
同理可證當時，。
綜上知 ，當時，，求導得， 即有 ，。
這就證明了只有乙個解滿足（*）.
由以上的（1），（2），（3），（4）和證明開始處的分析知，在上唯一確定隱函式且滿足，同時在上連續可導。
證畢。二·畢卡逐次逼近法證明乙個非區域性存在定理
[2]中有乙個一階方程初值問題解的非區域性存在性定理。原文中的證明是用到反證法，在已有貝爾曼不等式，延展定理，飽和區間引理等的前提下，證明過程比較簡潔，但需要掌握較多的知識才能理解。而用畢卡逐次逼近法也可以證明該定理。
雖然過程長，但思路清晰。現給出定理及證明如下：
定理2· 設有初值問題19）
在帶形區域，內連續，並設它在g內，則對g內任一點，初值問題（1）的解在區間（a，b）上存在且唯一。
證明：取， 且，
對，由定理中g知,故均有定義。其中{}為畢卡序列。
以下證明過程類似定理1中（1），（2），（3），（4）的證明。
由此知，對與的任意包含的閉子區間初值問題（1）都存在唯一解，故可推知，對於上的任意x，恆成立和，這就證明了在上，是初值問題的唯一解。
證畢。注：定理（1）中第（1）段所作的序列{}稱為畢卡序列，構造畢卡序列並證明它的一致收斂性的這種方法，稱為畢卡逐次逼近法。
第（2）段證明畢卡序列的一致收斂性和第（4）段證明解的唯一性中起重要作用的是。可以舉出例子，當不滿足（iii）時，僅從畢卡序列一致收斂性（在對y不滿足區域性下），並不能推出初值問題解的唯一性。
[1]《數學分析簡明教程》鄧東皋，尹小玲。高等教育出版社，2023年第1版；
[2]《常微分方程》蔡燧林，武漢大學出版社，2023年，第2版。
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