放縮法證明不等式

1、新增或捨棄一些正項（或負項）

【例1】已知（），求證：（）．

【解析】

∵（1、2、3

【點評】若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小．由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的．本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得到化簡．

2、先放縮再求和（或先求和再放縮）

【例2】函式，求證：（）．

【解析】

由得：（）．

【點評】此題不等式左邊不易求和，此時根據不等式右邊特徵，先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和．若分子，分母如果同時存在變數時，要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對於分子分母均取正值的分式．如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可．

3、先放縮，後裂項（或先裂項再放縮）

【例3】已知：，求證：．

【解析】

．【點評】本題先採用減小分母的兩次放縮，再裂項，最後又放縮，有的放矢，直達目標．

4、放大或縮小「因式」

【例4】已知數列滿足，，求證：．

【解析】

當時，，∴．

【點評】本題通過對因式放大，而得到乙個容易求和的式子，最終得出證明．

5、逐項放大或縮小

【例5】設，求證：．

【解析】

【點評】本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的．

6、固定一部分項，放縮另外的項

【例6】求證：．

【解析】

∵，∴．

【點評】此題採用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處．

7、利用基本不等式放縮

【例7】已知：，證明：不等式，對任何正整數、都成立．

【解析】

要證，只要證：，∵，，故只要證：，即只要證：，∵，∴命題得證．

【點評】本題通過化簡整理之後，再利用基本不等式由放大即可．

8、先適當組合、排序，再逐項比較或放縮

【例8】已知：、、是正整數，且．

（1）證明：；（2）證明：．

【解析】

（1）對於，且，，同理，由於，對於整數1、2、、，有，∴，即．

（2）由二項式定理有：，，由（1）知：（），而即成立．