數列不等式是高考的乙個考點，這類問題是把數列知識與不等式的內容整合在一起，形成了證明不等式，求不等式中的引數範圍，求數列中的最大項，最小項，比較數列中的項的大小關係，研究數列的單調性等不同解題方向的問題，而數列的條件的給出是多種多樣的，可以是已知的等差數列，等比數列，也可以是乙個遞推公式，或者是乙個函式解析式。數列不等式的證明和解決，要調動證明不等式的各種手段，如比較法，放縮法，函式法，反證法，均值不等式法，數學歸納法，分析法等等，因此，這類題目從已知條件給出的資訊，求解目標需求的資訊中，可尋求的解題過程所用的方法是相當豐富的，並且對於考查邏輯推理，演繹證明，運算求解，歸納抽象等理性思維能力以及數學聯結能力都是很好的素材。
放縮法放縮法是要證明數列不等式的一種常見方法，如當證明a（1）(;
(2)(3)(4);
(5)(6) )
(7)已知各項均為正數的數列{}的前n項和滿足，且
（1）求{}的通項公式；
（2）設數列{}滿足，並記為{}的前n項和，求證：
（ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假設a1＝s1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝sn+1- sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，捨去。
因此an+1- an-3＝0。從而｛an｝是公差為3，首項為2的等差數列，故｛an｝的通項為an＝3n-2。
（ⅱ）證法一：由可解得
；從而。
因此。令,則
。因，故
.特別的。從而，
即。證法二：同證法一求得bn及tn。
由二項式定理知當c＞0時，不等式
成立。由此不等式有
＝。證法三：同證法一求得bn及tn。
令an＝，bn＝，cn＝。
因，因此。
從而＞在數列中，，，．
（ⅰ）證明數列是等比數列；
（ⅱ）求數列的前項和；
（ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．
（ⅰ）證明：由題設，得
，．又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知，於是數列的通項公式為
．所以數列的前項和．
（ⅲ）證明：對任意的，
．所以不等式，對任意皆成立．
已知函式f（x）=x2－4，設曲線y＝f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1,u）（u,n +），其中為正實數.
（ⅰ）用xx表示xn+1；
（ⅱ）若a1=4，記an=lg，證明數列｛a1｝成等比數列，並求數列｛xn｝的通項公式；
（ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，tn是數列｛bn｝的前n項和，證明tn<3.
解析：本題綜合考查數列、函式、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力．
（ⅰ）由題可得．
所以曲線在點處的切線方程是：．
即．令，得．
即．顯然，∴．
（ⅱ）由，知，同理．
故．從而，即．所以，數列成等比數列．
故．即．
從而所以
（ⅲ）由（ⅱ）知，∴∴
當時，顯然．
當時， ∴．
綜上， ．
已知實數列等比數列,其中成等差數列.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)數列的前項和記為證明:＜128…).
解：（ⅰ）設等比數列的公比為，
由，得，從而，，．
因為成等差數列，所以，
即，．所以．故．
（ⅱ）．
設數列的首項．
（1）求的通項公式；
（2）設，證明，其中為正整數．
解：（1）由
整理得 ．
又，所以是首項為，公比為的等比數列，得
（2）方法一：
由（1）可知，故．
那麼，又由（1）知且，故，
因此為正整數．
方法二：
由（1）可知，
因為，所以 ．
由可得，
即兩邊開平方得 ．
即為正整數．
已知數列中，，．
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）若數列中，，，
證明：，．
解：（ⅰ）由題設：，．
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
，即的通項公式為，．
（ⅱ）用數學歸納法證明．
（ⅰ）當時，因，，所以
，結論成立．
（ⅱ）假設當時，結論成立，即，
也即．當時，，又，
所以．也就是說，當時，結論成立．
根據（ⅰ）和（ⅱ）知，．
放縮法證明數列不等式
1 設數列的前項的和 求首項與通項 設，證明 解 易求 其中n為正整數 所以 2 求證 1 法1 數歸 兩邊都可以 法2 放縮裂項 法3 定積分放縮 2 法1 放縮一 放縮二 放縮三 法2 數歸 加強命題 常用的放縮公式 例3 已知 求證 法1 均值不等式 即證 也即 而 法2 放縮後裂項求和 法3...
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小 由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得...
放縮法證明不等式
1 運用放大 縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的 分式的放縮對於分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可 如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可 還可利用真分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變大 假分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變小來進行放縮 例1 若a，...