我們知道，「放」和「縮」是證明不等式時最常用的推證技巧，但經教學實踐告訴我們，這種技巧卻是不等式證明部分的乙個教學難點。學生在證明不等式時，常因忽視「放」或「縮」的合理性或把握不住「放」或「縮」的「度」而導致解題失誤甚至思維擱淺。本文以通過對幾道例項的分析，就證明不等式的過程中如何進行「放」或「縮」作些**。
例1設△abc的三邊長為、、，且為正數，求證：。
解說：依題設知，因此證明的第乙個目標就是考慮將待證不等式的左端適當縮小，以出現：………①
由於①式的分子、分母中都含有，不便於利用條件，據此可考慮處理掉分子的：…………②
在利用條件和不等式的性質便能達到「縮」的目的：
∵，∴，∴，又∵，
∴，，又∵，
於是。本題是高中數學教材第二冊（上）（人教版）中不等式證明中的一道習題，主要利用了三角形的兩邊之和大於第三邊和不等式的一些基本性質來對分母進行「放」或「縮」，以達到證明的目的。
例2：對於一切大於1的自然數，證明
解說：本題的常見證明方法是數學歸納法。能否找到一種「放」或「縮」的方式直接證明呢？顯然，待證不等式等價於………………①
①式的左端是形如（2，3，……，）的個因數的乘積。如果能將每乙個因數按照某種規律縮小後能「交叉」約分的話，可望收到化繁為簡之效。注意到①式右端需要，因此，對左端每乙個因數縮小後應含有，據此便不難找到可行的縮小方式：
，於是。本題是95年上海的一道高考題，本題通過對待證式子的變形，然後在假分數的分子、分母上加上同乙個常數，分數的值縮小，以達到能夠約分的目的，進而得到所證的結果。
以上兩個例中的「放」或「縮」的方式都是通過對待證不等式的結構特徵進行分析才獲得的「放」或「縮」的方法。然而，對有些不等式而言，合適的「放」或「縮」的方式的獲得並非象上面兩個例子那樣順利。
例3：求證：。
解說：不等式是左邊是形如（1，2，…，）的項之和，不便於與右邊直接比較，於是想到將左邊的每一項按照某種規律放大，求和後再與右邊比較，我們先看下列放大方式：
。僅觀其表，會認為無懈可擊。問題在於這裡採用的放大方式
即是否合理。通過驗證的前幾個特殊值可以發現，對1，2，3，4成立，但對5，6等不成立，其根源在於忽視了「當增大時，指數函式比冪函式增大得快」這一基本事實。
我們再看下述放大方式：，
左邊<。
顯然，這種放大方式是行不通的，因為它不能滿足將左邊各項放大後求和的要求，必須對其作些改進。如果將左邊每一項放大後能出現乙個常數與的積，利用它將左邊放大後就可「交叉」相消達到求和目的，基於這種想法，考慮放大方式：
，左邊<。
由於知這種放大方式的放大量偏大，但它卻給我們提供了尋求放大方式的啟示：使每一項放大後出現因數。經嘗試可得：
，於是左邊<。
通過對放大方式的反覆調整，終於成功了。
該例題表明在放、縮方式合理的前提下，放、縮方式是否適度，事先難以預料的，但在證明過程中可以通過對放、縮情況的審視逐步作出調整，選擇適度的放縮方式改進證明。
例4： 設、，，求證：……………①
解說：如果直接運用二元均值不等式縮小，
即採用縮小方式
將有，由知，②、③處的縮小量太大。失敗的根源在於②、③中的等號無法取得。注意到①是非嚴格不等式，其中等號成立的條件是，因此，每一次縮小都必須保證等號成立的條件得到滿足。
抓住這一點不難獲得多種可行的縮小方式，組織多種證法。
證法1：
證法2：
=對非嚴格不等式的證明，每一次的「放」或「縮」保證等號成立是乙個基本的思考點，是放大或縮小的乙個必要性要求，但它並不具有充分性。
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小 由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得...
放縮法證明不等式
1 運用放大 縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的 分式的放縮對於分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可 如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可 還可利用真分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變大 假分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變小來進行放縮 例1 若a，...
放縮法證明不等式
放縮法在不等式的應用 所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的 度 否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的乙個重要步驟。證明數列型不等式，因其思維跨度大 構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思...