如何破解用放縮法證明不等式

作者：張俊

放縮法在不等式證明中有著重要的應用，同時由於放縮法變形的技巧性高、難度大，常因放縮過當，無法達到目標．本文試圖結合放縮的常見型別，展現常見的放縮方法與技巧，進而闡述使用放縮法過程中如何避免放縮過當等問題．

1 常見的型別和方法

1．1 利用放大或縮小分式的分子或分母而進行放縮

注：這裡通過分母增項，實施了「縮小」，還達到「通分」的效果．而後，使用了「分式的分子、分母同乘(除)以乙個不為零的數，分式的值不變」、「對於正值分式，分母增大(減小)，分式減小(增大)」等性質，分別實施了等量代換與不等放縮．

1．2 利用絕對值不等式的結論進行放縮

2 如何避免放縮過當

放縮法是不等式證明的一種重要數學思想方法．而放縮過程中會不知不覺間「失控」，要麼放得過大，要麼放得過小，達不到欲證的目標．差之毫釐，失之千里，如何將放縮「過頭」的「毫釐」砍去或補上？

2．1 調整放縮的尺度

調整成功，顯然從第三項開始放縮所得的結果比從第二項開始放縮所得的結果又更小些，以此類推：當放縮的項數越少，放縮後的結果就越來越「精細」，越來越逼近目標．

2．3 調整放縮的次數

3 關注放縮法證不等式的生長環境

與放縮法有關的題目常與求和有關，因此放縮證不等式常與求和的幾種常見形式與方法相結合．

3．1 放縮與裂項求和

4 高考的回放