蔣文利飛翔的青蛙
所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的「度」，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的乙個重要步驟。下面舉例談談運用放縮法證題的常見題型。
一. 「添舍」放縮
通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規思路。
例1. 設a，b為不相等的兩正數，且a3－b3＝a2－b2，求證。
證明：由題設得a2＋ab＋b2＝a＋b，於是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。
例2. 已知a、b、c不全為零，求證：
證明：因為，同理，。
所以二. 分式放縮
乙個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，乙個真分式，分子、分母同時加上同乙個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。
例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。
證明：由於a、b、c為正數，所以，，，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+c＞a，則為真分數，則，同理，，
故.綜合得。
三. 裂項放縮
若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可採用數列中裂項求和等方法來解題。
例4. 已知n∈n*，求。
證明：因為，則
，證畢。
例5. 已知且，求證：對所有正整數n都成立。
證明：因為，所以，
又，所以，綜合知結論成立。
四. 公式放縮
利用已知的公式或恆不等式，把欲證不等式變形後再放縮，可獲簡解。
例6. 已知函式，證明：對於且都有。
證明：由題意知
，又因為且，所以只須證，又因為
所以。例7. 已知，求證：當時。
證明：證畢。五. 換元放縮
對於不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質，然後隨機進行放縮，可達解題目的。
例8. 已知，求證。
證明：因為，所以可設，，所以則，即。
例9. 已知a，b，c為△abc的三條邊，且有，當且時，求證：。
證明：由於，可設a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為，，則當時，，，
所以。六. 單調函式放縮
根據題目特徵，通過構造特殊的單調函式，利用其單調性質進行放縮求解。
例10. 已知a，b∈r，求證。
證明：建構函式，首先判斷其單調性，設，因為，所以，所以在上是增函式，取，，顯然滿足，
所以，即。證畢。
用放縮法證明不等式
不等式是高考數學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數學素質的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養考生數學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。放縮法的理論依據是不等式性質的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮 怎樣展開。證明不等式...
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