陝西神木史明智
集合篩法
一般認為，用來製造素數表的厄拉多塞篩法在理論上是沒有用處的。這種篩法雖然可以準確無誤、乙個不漏地找出不大於n的每個素數，卻無法運用它來推理和證明更為深刻的問題。因為在不大於n的自然數集合中，任意乙個不大於的素數p的倍數之個數為，就是這個取整程式阻礙了推理和計算的順利進行。
但是，這不等於說厄氏篩法所涉及的自然數、素數、合數相互關係的規律就無法進一步發掘和利用。本文試圖在推理過程中突破整數限制來**它們之間的規律，即將視為去推理，推理和計算過程不考慮取整，只對最終結果四捨五入保留整數。對於由此產生的誤差，在利用得出的規律解決實際問題時，根據問題本身對準確程度的要求再作具體分析處理。
把視為，就可以這樣表述：不大於n的自然數集合中，有的元素是p的倍數，也即自然數集合元素數分別與其中p的倍數集合元素數之比為1:。 我們來證明如下定理。
定理：在不大於n的自然數集合中，每次篩去不大於的乙個素數的倍數集合，每次篩剩的自然數個數與其中p倍數的個數之比與未篩前它們之間的比保持不變，仍為1:（p不等於已篩過的素數）。
直至篩剩數中不再有p的倍數。
證明定理之前，先證明兩個引理。
引理1：在不大於n的自然數集合中，乙個不大於的素數p的倍數集合，或幾個不大於的素數p,p….的公倍數集合，其中有的元素是p的
倍數（前者中p≠p，後者中p不等於p,p….中的任一素數）。
證明： 前者集合可表示為p（1， 2， 3……）
後者集合可表示為pp….（1，2，3……）
顯然，自然數列中某個項是p的倍數時，該集合這個元素也是p的倍數，而自然數列中有的項是p的倍數，故得引理。但若前者集合中p= p，後者集合中p等於p，p….其中之一時，該集合所有元素便都是p的倍數，故應除外。
引理2：正整數等差數列中有的項是p的倍數（p不等於公差中所含不大於的素因數）。
證明：設等差數列中第乙個能被p整除的項為mp，公差為d，則其後各項為mp+ nd(n=1，2，3….)。
顯然，n為p的倍數時，該項亦為p的倍數，而n（自然數列）中有的項是p的倍數，故得引理。但若d為p的倍數時，則各項均為p的倍數，故公差中含該p者除外。公差為負數時，該數列為從大到小的正整數等差數列，同樣適用本引理。
定理的證明：
不大於n的自然數集合可以劃分出不同層次的子集合：不大於的各個素數的倍數集合，是第一層次的子集合；兩子集交集, 即兩素數公倍數集合, 是第二層次的子集合；三素數公倍數集合，又是其中兩素數公倍數集合的交集，這是第三層次的子集合; 以此類推.（顯然，這些子集合沒有把大於的素數包括進去）。
由引理1知，從不大於n的自然數集合到各層次各子集合，都各自有的元素是p的倍數（p不等於該集合公有的素因數）。所以，當我們在不大於n的自然數集合中篩掉2的倍數時，對於各層次各集合來說，除全部元素都是2的倍數的子集合是被整體篩去外，其他各集合都是被篩去自身元素數的，也就是這些集合的元素數都同時縮小。所以各層次各集合剩餘元素數分別與其中所含其他子集元素數之比，仍保持未篩前它們之間的比值不變，即仍為1:
（此時p≠2）。同理，再篩去自然數集合剩餘元素中3的倍數，除全部元素都是3的倍數的子集合被整體篩去外，其他各層次各集合都被篩去自身所剩元素的，即這些集合的元素個數又同時縮小。所以，再次剩餘的各層次各集合元素數與其中所含其他子集合元素數之比仍保持1:
不變（此時p不等於2和3）。以此類推，定理得證。
我們在證明定理的同時，也得到了求n以內素數個數即π(n)的篩法，就叫集合篩法。因為篩去p的倍數中包括1倍即p本身，所以π(n)的漸近表示式要加上p的個數；又因「1」不是素數，故應減去1，即：
π(n)～n(1-)(1-)(1-)……(1-)+s-1
n (1-)+s-1 (p=2, p≤)
如前所述，把視為推導出的π(n)的漸近表示式，必然存在誤差。下面，我們對誤差做一些初步的分析和討論：
1. 集合篩法的本質，就是在不大於n的自然數集合中按比例逐步篩去不大於的各個素數的倍數，即全部合數。因為n不可能被大多數不大於的素數整除，所以每次得出的篩剩數大多不是整數，如果每次都取整，必然會造成累積性誤差，而且對篩剩數取整與本該對被篩數取整適得其反，最終必然導致完全錯誤的結論。
而計算過程不取整，分數部分將在隨後的計算中體現其存在的作用。也可以這樣理解：表示式中∏(1-)這部分是計算素數在自然數集合中所佔的比值，所以不須也不能取整，與n相乘後才是素數個數，則應四捨五入保留整數。
因為避免了累積性誤差，這樣得出的結果，誤差自然不會大，而且當n很大時，誤差絕對值與實有素數之比，即相對誤差會更小（見附表一）。
這裡可能會提出這樣乙個問題：對比依據逐步淘汰原則得出的π(n)表示式，這個誤差應該包括2個誤差項（即有2個需要取整的項），這樣多的誤差項，致使人們得出厄氏篩法「幾乎無用」的結論。而集合篩法認為這個誤差並不大，該如何解釋呢？
其實，誤差項多不等於誤差大，因為在那個π(n)表示式中，誤差項（取整項）有正有負，是可以相互抵消的。
2. n只要在p和p之間，∏(1-)的值都是相同的（即尚無下乙個小於的素數），而這個值與該區間每個自然數相乘都會得到乙個不同的值。如果該區間連續多個自然數都是合數，就會出現計算值增加了而實際素數個數並未增加的現象。
相反，如果該區間頻繁出現素數，甚至孿生素數，三生素數，就又顯示為計算值未增加多少，實際素數個數卻增加較多。進而言之，素數在自然數中分布是不均勻的，n處於素數稠密區結束處，計算值會小於實際值，呈負誤差；n處於素數稀疏區結束處，計算值會大於實際值，呈正誤差(本文一律將計算值大於實際值的誤差稱為正誤差,反之稱為負誤差)。誤差的忽大忽小，忽正忽負，就是集合篩法誤差的不規則性。
上述n很大時相對誤差會更小，是從誤差絕對值的上限來比較的。
3．集合篩法依據的是規律而非概率，在一定前提下，誤差的存在並不影響我們對規律的利用。對於一些並不要求絕對準確值的命題或猜想（如孿生素數猜想和三生素數猜想只要求證明其無窮多；哥德**猜想只要求證明大於4的偶數最少可分解為乙個兩奇素數相加的對子），我們完全可以利用它作為證明的工具。
附表一：
用π(n) 漸近表示式計算的素數個數與實際個數對比
孿生素數猜想的證明
孿生素數是相差為2的素數對。證明孿生素數猜想就是要證明這樣的素數對有無窮多。我們的基本思路是：
在相差為2的奇數對集合中篩掉那些最少有一奇數是合數的對子，剩下的就是孿生素數對。我們來推導不超過n的自然數中孿生素數對子數即z(n)的漸近表示式。先把不大於n區間相差為2 的奇數對集合按如下形式列出進行觀察分析：
1 ， 3
3 ， 5
5 ， 7
7 ， 9
9 ， 11
11 ， 13
13 ， 15
15 ， 17
17 ， 19
19 ， 21
n為偶數時） n-3 ， n-1
（n為奇數時） n-2， n
不難看出, n為偶數時，不大於n區間相差為2 的奇數對有-1對，n為奇數時則有對。表示式僅以n為偶數表示。
為了便於敘述，我們約定如下簡稱：其中一奇數是3的倍數的對子稱為含3對，其中一奇數是5的倍數的對子稱為含5對，以此類推。
對於相差為2的奇數對集合，一奇數含某個不大於的素因數的對子集合是它的子集合，我們稱它為第一層子集合；既是含p對又是含p對（p,p均≤）的奇數對集合，是這兩個子集合的交集，此為第二層子集合；三子集交集是其中兩子集交集的子集，此為第三層子集合;以此類推（可以看出這些子集合沒有把大於區間的孿生素數包括進去）。不論幾個子集的交集，其元素都可分為兩種型別：一種是各子集自身公有的素因數（簡稱命名素數，如含3對的命名素數是3，含5 對的命名素數是5）包含在其中乙個奇數中，也即一奇數是各子集命名素數的公倍數，另一奇數則不含這些命名素數，我們把這類對子稱為公倍數對；另一種是這些命名素數分含在兩個奇數中，，我們把這類對子簡稱為相遇對。
例如在含3對、含5對、含7對三子集交集中，105和107這對奇數屬於公倍數對，75和77這對奇數屬於相遇對。
下面我們來分析各層次各集合元素數分別與其中所含其他子集元素數的比。
1.奇數對集合元素數分別與各子集元素數的比: 從縱列看，每列都是乙個連續的奇數數列。
由定理知，每列奇數都有的項是p的倍數，又因相差為2的兩奇數不可能被同一素數整除，所以奇數對集合中有的元素是含p對。即奇數對集合元素數分別與其中所含各子集元素數之比為1:。
2. 各子集元素數分別與其中所含其他各子集元素數(即相關兩子集交集的元素數)的比:以含5對集合與其中的含3對元素為例,由定理和引理1知，5的奇數倍集合中有的元素是3的倍數，所以含5對集合中有的元素是二者交集中的公倍數對；另外，一列奇數中5的倍數與另一列奇數中3的倍數相遇的週期是15個奇數，即每3個5的倍數中有乙個與3的倍數相遇，故含5對集合中有的元素是二者交集中的相遇對。
兩者合計，含5對集合中有的元素是含3對。同理可推知：第一層各子集元素數分別與其中所含其他子集元素數之比為1:。
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