放縮法在不等式的應用
所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的「度」，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的乙個重要步驟。證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與後繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：
通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特徵，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下幾種：
一. 「添舍」放縮
通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規思路。
例1. 設a，b為不相等的兩正數，且a3－b3＝a2－b2，求證。
證明：由題設得a2＋ab＋b2＝a＋b，於是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）2，即（a＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。
例2. 已知a、b、c不全為零，求證：
證明：因為，同理，。
所以二. 分式放縮
乙個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，乙個真分式，分子、分母同時加上同乙個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。
例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。
證明：由於a、b、c為正數，所以，，，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+c＞a，則為真分數，則，同理，，
故.綜合得。
三. 裂項放縮
若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可採用數列中裂項求和等方法來解題。
例4. 已知n∈n*，求。
證明：因為，則
，證畢。
例5. 已知且，求證：對所有正整數n都成立。
證明：因為，所以，
又，所以，綜合知結論成立。
例6 設數列滿足 （ⅰ）證明對一切正整數成立；（ⅱ）令，判定與的大小，並說明理由（04年重慶卷理科第（22）題）
簡析本題有多種放縮證明方法，這裡我們對（ⅰ）進行減項放縮，有
法1 用數學歸納法（只考慮第二步）；
法2則.四. 利用重要不等式放縮
1.均值不等式
利用已知的公式或恆不等式，把欲證不等式變形後再放縮，可獲簡解。
例7 設求證
解析此數列的通項為，，即
注：①應注意把握放縮的「度」：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過「度」了！
根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式，這裡
其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
例8已知為正數，且，試證：對每乙個，.（88年全國聯賽題）
簡析由得，又，故，而，
令，則=，因為，倒序相加得=，
而，則=，所以，即對每乙個，.
2．利用有用結論
例9 求證
簡析本題可以利用的有用結論主要有：
法1 利用假分數的乙個性質可得 即
法2 利用貝努利不等式的乙個特例(此處)得
注：例9是2023年上海高考試題，以此題為主幹添「枝」加「葉」而編擬成2023年全國高考文科試題；進行公升維處理並加引數而成理科姊妹題。如理科題的主幹是：
證明(可考慮用貝努利不等式的特例)
例10 已知函式
求證：對任意且恆成立。（90年全國卷壓軸題）
簡析本題可用數學歸納法證明，詳參高考評分標準；這裡給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：
而由不等式得
(時取等號)
（），得證！
例11 已知用數學歸納法證明；對對都成立，證明（無理數）（05年遼寧卷第22題）
解析結合第問結論及所給題設條件（）的結構特徵，可得放縮思路：
。於是，
即注：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮： ，即
例12 已知不等式表示不超過的最大整數。設正數數列滿足：
求證（05年湖北卷第（22）題）
簡析當時，即
於是當時有
注：①本題涉及的和式為調和級數，是發散的，不能求和；但是可以利用所給題設結論來進行有效地放縮；
引入有用結論在解題中即時應用，是近年來高考創新型試題的乙個顯著特點，有利於培養學生的學習能力與創新意識。
例13 設，求證：數列單調遞增且
解析引入乙個結論：若則（證略）
整理上式得（）
以代入（）式得
即單調遞增。
以代入（）式得
此式對一切正整數都成立，即對一切偶數有，又因為數列單調遞增，所以對一切正整數有。
注：①上述不等式可加強為簡證如下：
利用二項展開式進行部分放縮：
只取前兩項有對通項作如下放縮：
故有②上述數列的極限存在，為無理數；同時是下述試題的背景：
已知是正整數，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題）
簡析對第（2）問：用代替得數列是遞減數列；借鑑此結論可有如下簡捷證法：數列遞減，且故即。
當然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例5所提供的假分數性質、貝努力不等式、甚至構造「分房問題」概率模型、建構函式等都可以給出非常漂亮的解決！
例14 設數列滿足，當時證明對所有有；（02年全國高考題）
解析用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，則當時，成立。
利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得
注：上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結論。
五利用單調性放縮
1． 構造數列
如對上述例7，令則，
遞減，有，故
再如例9，令則，即遞增，有，得證！
注：由此可得例9的加強命題並可改造成為探索性問題：求對任意使恆成立的正整數的最大值；同理可得理科姊妹題的加強命題及其探索性結論，讀者不妨一試！
2．建構函式
例15 已知函式的最大值不大於，又當時（ⅰ）求的值；（ⅱ）設，證明（04年遼寧卷第21題）
解析 （ⅰ）=1 ；（ⅱ）由得且用數學歸納法（只看第二步）：在是增函式，則得
例16 數列由下列條件確定：，．（i）證明：對總有；(ii)證明：對總有（02年北京卷第（19）題）
解析建構函式易知在是增函式。
當時在遞增故
對(ii)有，建構函式它在上是增函式，故有，得證。
注：①本題有著深厚的科學背景：是計算機開平方設計迭代程式的根據；同時有著高等數學背景—數列單調遞減有下界因而有極限：
②是遞推數列的母函式，研究其單調性對此數列本質屬性的揭示往往具有重要的指導作用。
六換元放縮
例17 求證
簡析令，這裡則有
，從而有
注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用。
例18 設，，求證.
簡析令，則，，應用二項式定理進行部分放縮有
，注意到，則（證明從略），因此
七遞推放縮
遞推放縮的典型例子，可參考上述例14中利用部分放縮所得結論進行遞推放縮來證明，同理例11中所得和、例12中、 例13（ⅰ）之法2所得都是進行遞推放縮的關鍵式。
八分項討論
例19 已知數列的前項和滿足
（ⅰ）寫出數列的前3項；（ⅱ）求數列的通項公式；（ⅲ）證明：對任意的整數，有（04年全國卷ⅲ）
簡析 （ⅰ）略，（ⅱ） ；
（ⅲ）由於通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數時
（減項放縮），於是
①當且為偶數時
②當且為奇數時（添項放縮）由①知由①②得證。
放縮法證明不等式
1 新增或捨棄一些正項 或負項 例1 已知 求證 解析 1 2 3 點評 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小 由於證明不等式的需要，有時需要捨去或新增一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的 本題在放縮時就捨去了，從而是使和式得...
放縮法證明不等式
1 運用放大 縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的 分式的放縮對於分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可 如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可 還可利用真分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變大 假分數的分子和分母加上同乙個正數，則分數值變小來進行放縮 例1 若a，...
放縮法證明不等式
在學習不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關鍵所在。現例析如下，供大家討論。例1 設 是三角形的邊長，求證 3 證明 由不等式的對稱性，不妨設 則 且 0，0 3 評析 本題中為什麼要將與都放縮為呢？這是因為 0，0，而無法判斷符號，因此無法放縮。所以在運用...