例1 ;如圖所示，在直三稜柱中，已知，，，，分別為、的中點.
求證：平面；
證明1：常規幾何法
取的中點，鏈結，ef∥bd，且ef＝bd，
所以四邊形dbef為平行四邊形．所以be∥df.
因為df平面，be平面所以平面；
證明2:法向量法。
以所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角座標系，則，，，，，，，設平面的乙個法向量為，
則由和，，
取，，，所以法向量， 又，，因為平面，所以平面
證明3:向量共面法。（以為基底）
, , ,設,
則；；所以，
又因為平面，所以平面.
例2;如圖，正三稜柱的所有稜長均為2,為稜的中點．.
求證：直線平面；
【證明1】取bc中點為o，以o點為座標原點，
分別以ob、of、oa所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角座標系
則在稜長均為2的正三稜柱中，各點座標為：
， ，，，
，，則由
知又與是平面內的兩條相交直線，
故平面；
【證明2】基底向量法。（以為基底）
,可得又與是平面內的兩條相交直線，
故平面；
例3;如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，ce⊥ac，ef∥ac，ab＝，ce＝ef＝1.
(1)求證：af∥平面bde； (2)求證：cf⊥平面bde.
證明：(1)設ac與bd交於點g，因為ef∥ag，且ef＝1，ag＝ac＝1，所以四邊形agef為平行四邊形．所以af∥eg.因為eg平面bde，af平面bde，所以af∥平面bde.
(2)因為正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，且ce⊥ac，所以ce⊥平面abcd.如圖，以c為原點，建立空間直角座標系c－xyz.則c(0,0,0)，a(，，0)，b(0，，0)，d(，0,0)，e(0,0,1)，f(，，1)．所以c＝(，，1)，b＝(0，－，1)，d＝(－，0,1)．所以c·b＝0－1＋1＝0，c·d＝－1＋0＋1＝0.
所以cf⊥be，cf⊥de，所以cf⊥平面bde.
例4．已知在四稜錐p－abcd中，底面abcd是直角梯形，
∠bad＝90°，2ab＝2ad＝cd，側面pad是正三角形且
垂直於底面abcd，e是pc的中點．
(1)求證：be⊥平面pcd；
(2)在pb上是否存在一點f，使af∥平面bde?
證明(1) 以ad的中點o為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系．設ab＝ad＝2，則有b(1,2,0)，c(－1,4,0)，d(－1,0,0)，p(0,0，)，e(－，2，)，
∴＝(－，0，)，＝(－1,4，－)，
＝(0，－4,0)，∴·＝(－，0，)·(－1,4，－)＝0，
·＝(－，0，)·(0，－4,0)＝0.
即be⊥pc，be⊥cd.
又pc∩cd＝c，∴be⊥平面pcd.
解 (2) 設平面bde的法向量為＝(x，y，z)，
∵⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，
∴，令y＝－1，則x＝1，z＝.
∴平面bde的乙個法向量為(1，－1，)．
取=m，則有＝(－m，2-2m，m)，
又是平面bde的法向量，∴⊥.
∵·＝(－m，2-2m，m)·(1，－1，)＝0，解得m=
此時af平面bde，∴af∥平面bde. 故存在pb中點f使af∥平面bde.
注：常規幾何法仍然是證明思路的首選，但例四中確定點的位置向量法更好。
思考：向量法證明直線與平面平行依據是什麼、格式如何寫？
向量法證明直線與平面垂直依據是什麼、格式如何寫？
練習1如圖，在四稜錐p－abcd中，底面abcd是邊長為的
正方形，e、f分別為pc、bd的中點，側面pad⊥底面abcd，
且pa=pd=ad．
（1）求證：ef∥平面pad；
（2）求證：平面pab⊥平面pcd．
【解略】
練習2已知abcd是矩形，，e、f分別是線段ab、bc的中點，
面abcd.
（1）證明：pf⊥fd；
（2）在pa上找一點g，使得eg∥平面pfd.
(1) 證明略
(2)滿足的點g為所找點。
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