一、知識網路構建
二、課標及考綱要求
三、知識要點及考點精析
（一）空間向量及其運算
1．空間向量的概念
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．
還需要掌握的幾個相關的概念包括相等向量、零向量、共線向量等．
2．空間向量的線性運算
（1）空間向量的加法、減法和數乘運算
平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用於空間向量的加（減）法運算．加法運算對於有限個向量求和，交換相加向量的順序其和不變．三個不共面的向量的和等於以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量．加法和數乘運算滿足運算律：
①交換律，即；
②結合律，即；
③分配律，即及（其中均為實數）．
（2）空間向量的基本定理
① 共線向量定理：對空間向量的充要條件是存在實數，使．
② 共面向量定理：如果空間向量不共線，則向量c與向量共面的充要條件是，存在惟一的一對實數，使．
③ 空間向量基本定理：如果三個向量a, b, c不共面，那麼對空間任一向量p，存在有序實陣列，，，使．其中是空間的乙個基底，a, b, c都叫做基向量，該定理可簡述為：空間任一向量p都可以用乙個基底惟一線性表示（線性組合）．
（3）兩個向量的數量積
兩個向量的數量積是ab= |a||b|cos，數量積有如下性質： a, b, c
① ae= |a|cos（e為單位向量）；
② aaab=；
③ aa=|a|2；
④ |ab|| a||b|．
數量積運算滿足運算律：
①交換律，即ab= ba；
②與數乘的結合律，即（a）b=（ab）；
③分配律，即（a+b）c =ac +bc．
3．空間向量的座標運算
（1）給定空間直角座標系和向量a，存在惟一的有序實陣列使，則叫作向量a在空間的座標，記作．
（2）空間向量的直角座標運算律
①若，則
，，ab．
，．②若，則．即乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標．
4．直線的方向向量與向量方程
（１）位置向量：已知向量a，在空間固定乙個基點，作向量，則點在空間的位置被a所惟一確定，a稱為位置向量．
（２）方向向量與向量方程：給定乙個定點和乙個向量a，再任給乙個實數，以為起點作向量a，則此向量方程稱為動點對應直線的引數方程，向量a稱為直線的方向向量．
典型例題分析：
例1．若=(,1,3), =(1,-,9),如果與為共線向量,則( )
a．， b．, c．, d．,
例2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(-1，0，2)，且a＋b與2 a-b互相垂直，則的值是( )
a． 1bcd．
例3．已知=(2,2,1), =(4,5,3),求平面abc的單位法向量．
解:設平面abc的法向量n=(x,y,1),則n⊥且n⊥,即n·=0,且n·=0,即
即 ∴n=(,-1,1),單位法向量n=±(,-,)．
（二）立體幾何中的向量方法
1．利用向量法確定直線、平面間的平行、垂直等位置關係
設直線的方向向量是，直線的方向向量是，平面的法向量是，平面的法向量是，則有如下結論成立：
（1）u1∥u2u1；
（2）；
（3）∥；
（4）；
（5）；
（6）．
第一部分：平行問題
① 利用空間向量解決線線平行問題
（06山東模擬）已知直線平面，直線平面，為垂足．求證：．
證明：以點為原點，以射線為非負軸，如圖1，建立空間直角座標系，為沿軸的單位向量，且設．
，，，，
．，．，即．
點評：由向量的共線的充要條件知，只要證明即可．
② 利用空間向量解決線面平行問題
（06山西模擬）已知是正三稜柱，是的中點，求證：平面．
證法1：建立如圖2的空間直角座標系．設正三稜柱的底面邊長為，側稜長為，
則．設平面的法向量為，
則．由，，得
取得，得．
由，得，即平面．
證法2：如圖3，記，
則．，共面．
又平面，平面．
點評：用向量證明線面平行問題通常有兩種方法：①向量與兩個不共線的向量共面的充要條件是存在惟一的有序實數對，使．利用共面向量定理可證明線面平行問題，如證法2．②設為平面的法向量，要證明，只需證明，如證法1．
③ 利用空間向量解決面面平行問題
例題：已知正方體的稜長為1，分別為的中點，求證：平面平面．
證明：建立空間直角座標系，
則．得．
設為平面的法向量，設為平面的法向量．
空間計算：．
由，得平面平面．
點評：設分別為平面的法向量，要證，只需證明：存在乙個非零常數，滿足，則．其實本題也可轉化為線線平行，則麵麵平行．即用向量先證明，，則有線面平行，從而平面平面．
第二部分：垂直問題
① 利用空間向量解決線線垂直問題
（2023年高考題）已知正四稜，，點為中點，點為中點．證明：為與的公垂線．
證明：如圖1，在以為的原點的空間直角座標系中，
．由，，
得．為與的公垂線．
點評：把推理論證（）用向量運算（）來代替，減少了構造輔助圖形，降低了思維量．
② 利用空間向量解決線面垂直問題
（2023年高考題）如圖2，在四稜錐中，底面為矩形，側稜底面，為的中點，在側面內找一點，使麵
解：如圖2，在以為原點的空間直角座標系中，．設．
由麵，得
即 ．
點評：按照傳統方法，要構造三條輔助線，多解兩個三角形，畫圖、看圖以及計算都增加了難度．用空間向量的觀點處理立體幾何中的線面關係，把幾何問題代數化，降低了難度．
③ 利用空間向量解決面面垂直問題
（07北京海淀）如圖3，在正方體中，為與的交點，為的中點，求證：平面平面．
分析：要證明平面平面，只要證明平面內的一條直線垂直於平面中的兩條相交直線即可，而從圖中觀察，證較容易成功．
證明：設．
則．而，，，
，．，．又，平面．
又平面，
平面平面．
點評：向量a垂直於向量b的充要條件是ab，據此可以證明直線與直線垂直，進而還可證明直線與平面垂直及兩個平面垂直．在證明一對向量垂直時，往往用一組基底先表示這一對向量，再考慮它們的數量積是否為零．
2．利用空間向量解決空間距離問題
（1）利用空間向量求線線距離
如圖1，若是異面直線的公垂線段，分別為上的任意兩點．
則兩異面直線間的距離為
（其中與垂直，分別為兩異面直線上的任意兩點）．
例題：如圖2，在正方體中，為的中點．求異面直線和間的距離？
解析：設正方體稜長為2，以為原點，建立如圖2所示的空間直角座標系，
則．設和公垂線段上的向量為，則即．
又，，所以異面直線和間的距離為．
（2）利用空間向量求點面距離
如圖3，已知為平面的一條斜線段，為平面的法向量．
則點到平面的距離．
例題：如圖4，已知是各條稜長均等於的正三稜柱，是側稜的中點．求
點到平面的距離．
解析：為正方形，．
易得平面平面，
面，是平面的乙個法向量．
設點是平面的距離為，
則（3）利用空間向量求線面、面面距離
注意：利用空間向量求線面、面面距離的問題顯然可以轉換成利用空間向量求點面距離的問題
例題：如圖5，已知邊長為的正三角形中，分別為和的中點，面，且，設平面為且與平行．求與平面間的距離？
解析：設的單位向量分別為，選取作為空間向量的乙個基底．
易知，．
設是平面的乙個法向量，
則． 即．
直線與平面間的距離．
例題：如圖6，在稜長為1的正方體中．求平面與平面間的距離．
解析：建立如圖所示的空間直角座標系，易知平面與平面平行．
設平面的乙個法向量，
則，即．
平面與平面間的距離．
3．利用空間向量解決空間角問題
（1）利用空間向量求線線角
設兩異面直線所成的角為分別是的方向向量，注意到異面直線所成角的範圍是，則有．
（2006廣東模擬）已知正方形和矩形所在平面互相垂直，．試**段
上確定一點，使得與所成的角是．
如圖1，建立空間直角座標系，則．
設，得．
又和所成的角是，
．解得或（捨去），即點是的中點．
點評：採用傳統的平移法求異面直線所成角的大小，免不了要作輔助線和幾何推理．這裡運用向量法，沒有了這些手續，顯得便當快捷．
（2）利用空間向量求線面角
如圖2，點在平面外，為內一點，斜線和平面所成的角為，為的乙個法向量，注意到斜線和平面所成角的範圍是，則有，結合向量的夾角公式便可求．
（05山東模擬）在正三稜柱中，已知在稜上，
且，若與平面所成的角為，則sin（ ）
解：取中點，鏈結，則，如圖3，建立空間直角座標系，則，則．
平面平面，，
平面．為平面的乙個法向量．
．，選（ｄ）．
點評：利用向量法求空間角，其操作只須按步驟進行，數值計算十分簡單，對空間想象力和幾何的邏輯推理能力要求不高，顯得簡潔明瞭．
（3）利用空間向量求面面角
注意：求面面角的問題關鍵還是轉化成求線線角，一般來說求二面角有兩種方法：
如圖4，分別在二面角的兩個麵內且垂直於稜，
分別是的乙個法向量，則可利用向量的夾角公式結合
以下角度關係之一求二面角的大小：
方法一：等於二面角的平面角；
方法二：與二面角的平面角相等或互補．
（05雲南一模）如圖5，在三稜錐中，是邊長為4的正三角形，平面平面，，分別為的中點，求二面角的余弦值．
解：取中點，鏈結．
，，且．
又平面平面，
平面，．
如圖5所示，建立空間直角座標系．
則，，，設為平面的乙個法向量，則
取，則則．
又為平面的乙個法向量， ．
二面角的余弦值為．
點評：利用向量法求空間角的大小，經常用到平面的法向量．求法向量的方法主要有兩種：
① 求平面的垂線的方向向量；
② 利用法向量與平面內兩個不共線向量數量積為零列方程組求．
空間向量與立體幾何
一 平行與垂直問題 一 平行 線線平行 線面平行 面面平行 注意 這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。二 垂直 線線垂直 線面垂直 面面垂直 注意 畫出圖形理解結論 二 夾角與距離問題 一 夾角 二 距離 點 直線 平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點....
空間向量解決立體幾何
1 空間直角座標系構建三策略 利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關鍵是依託圖形建立空間直角座標系，將其它向量用座標表示，通過向量運算，判定或證明空間元素的位置關係，以及空間角 空間距離問題的探求 所以如何建立空間直角座標系顯得非常重要，下面簡述空間建系的三種方法，希望同學們面對空間幾何問題能做到有...
高考數學總結複習 空間向量與立體幾何
空間向量與立體幾何複習指津 在引入空間向量後，許多空間問題 如空間角 空間距離等 的求解，已經從傳統的 作 證 算 轉化為，將所求問題表示為向量的閉迴路 課本稱為 封口向量 然後利用數量積求解，即已從傳統意義上的幾何方法轉向以空間向量為媒介的代數運算 特別是法向量的應用，更是大大拓展了求解空間問題的...