一、 選擇題(每小題5分，共40分)
1． (2011韶關市)已知兩個不同的平面α，β和兩條不重合的直線m，n，在下列四個命題中錯誤的是
a．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n
b．若m⊥α，m⊥β，則α∥β
c．若m∥n，m⊥α，則n⊥α
d．若m⊥α，m∥n，nβ，則α⊥β
答案：a
解析：只有當m∥β也成立時，a才正確．
2． (2010惠州調研)用若干個體積為1的正方體搭成乙個幾何體，其正檢視、側檢視都是如圖所示的圖形，則這個幾何體的最大體積與最小體積的差是
a．6 b．7 c．8 d．9
答案：a
解析：由正檢視、側檢視可知，體積最小時，底層有3個小正方體，上面有2個，共 5個；體積最大時，底層有9個小正方體，上面有2個，共11個，故這個幾何體的最大體積與最小體積的差是6.故選a.
3． (2009浙江卷)在三稜柱abc－a1b1c1中，各稜長相等，側稜垂直於底面，點d是側面bb1c1c的中心，則ad與平面bb1c1c所成角的大小是
a．30° b．45° c．60° d．90°
答案：c
解析：取bc的中點e，則ae⊥面bb1c1c，∴ae⊥de，
因此ad與平面bb1c1c所成角即為∠ade，設ab＝a，
則ae＝a，de＝，即有tan∠ade＝，∴∠ade＝60°.
4． (2011廣東六校)若乙個底面為正三角形、側稜與底面垂直的稜柱的三檢視如下圖所示，則這個稜柱的體積為
a．12 b．36 c．27 d．6
答案：b
解析：從稜柱的三檢視可知其直觀圖是正的三稜柱，其底面正三角形的高為3，設其邊長為a，＝3，∴a＝6，s底＝×62＝9，v＝s底×4＝36
5． (2010廣東梅州)設x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：①z、y、z均為直線；
②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面．
其中使「x⊥z且y⊥zx∥y」為真命題的是
a③④ b①③ c②③ d①②
答案：c
6． (2009廣州)在空間直角座標系中，以點a(4,1,9)，b(10，－1,6)，c(x,4,3)為頂點的△abc是以bc為底邊的等腰三角形，則實數x的值為
a．－2 b．2 c．6 d．2或6
答案：d
7． 如圖，點s在平面abc外，sb⊥ac，sb＝ac＝2，e、f分別是sc和ab的中點，則ef的長是
a．1b.
cd.答案：b
解析：取sa的中點h，鏈結eh、fh.因為sb⊥ac，
則eh⊥fh，在△efh中，應用勾股定理得ef＝.
8． (2011惠州)如圖，動點p在正方體abcd－a1b1c1d1的對角線bd1上．過點p作垂直於平面bb1d1d的直線，與正方體表面相交於m，n.設bp＝x，mn＝y，則函式y＝f(x)的圖象大致是
答案：b
解析：取aa1中點q，cc1中點g，bd1中點p0，則過mn和bd1的截面如題圖所示：由圖可知，p由b運動到p0過程中，y隨x的增大而增大；p由p0運動到d1過程中，y隨x的增大而減小，故排除a，c.
而p由b運動到p0過程中，＝＝＝tan∠mbp為定值，故y為關於x的一次函式，圖象為線段；後半段亦同理可得，故選b.
二、 填空題(每小題5分，共30分)
9． 如圖所示的直觀圖中，o′a′＝o′b′＝2，則其平面圖形的面積等於______．
答案：4
解析：作出原來的平面圖形知oa＝4，ob＝2，
故其面積等於×2×4＝4.
10． 將若干毫公升水倒入底面半徑為4cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為8cm，若將這些水倒入母線長等於底面直徑的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是________．
答案：4cm
解析：設水面高度為h，由42×8π＝×(h)2πh，∴h＝4cm
11． (2023年揭陽市)某師傅用鐵皮製作一封閉的工件，其直觀圖的三檢視如右圖示(單位長度：cm，圖中水平線與豎線垂直)，則製作該工件用去的鐵皮的面積為cm2.(製作過程鐵皮的損耗和厚度忽略不計)
答案：100(3＋)cm2
解析：由三檢視可知，該幾何體的形狀如圖，
它是底面為正方形，各個側面均為直角三角
形的四稜錐，用去的鐵皮的面積即該稜錐的表面積為s＝100(3＋)cm2.
12． 已知圓錐的底面半徑為r，高為3r，在它的所有內接圓柱中，全面積的最大值等於________．
答案：πr2 解析：考慮軸截面，是一矩形內接於一等腰三角形，設圓柱底面半徑為r，高為h，易得h＝3r－3r.
圓柱全面積為2πr2＋2πrh＝2πr(r＋3r－3r)
＝2πr(3r－2r)＝π(2r)(3r－2r)≤π
＝πr2，當且僅當r＝r時，取等號．
13． (2011增城市)如圖是圓錐的三檢視，則該圓錐的側面積是
答案：π
解析：由三檢視可知圓錐的底面半徑為1，高為3，則母線長為.由圓錐的側面積公式可得．
14． (2023年寧波市)取稜長為a的正方體的乙個頂點，過此頂點出發的三條稜的中點作截面，截去正方體的乙個角，對正方體的所有頂點都如此操作，則所剩下的多面體：
①有12個頂點 ②有24條稜 ③表面積3a2 ④體積a3
以上結論正確的有填上正確的序號)
答案：①②④
三、 解答題(4小題，共50分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15． (12分)如圖，是乙個獎盃的三檢視(單位：cm)，底座是正四稜臺．
(1)求這個獎盃的體積(π取3.14)；
(2)求這個獎盃底座的側面積．
解析：這個獎盃由三部分構成，底座是正四稜臺，中間是圓柱，頂部是乙個球．
(1)球的體積是v球＝πr3＝36π；
圓柱的體積是v圓柱＝sh1＝64π；
正四稜臺的體積是v正四稜臺＝h2(s上＋＋s下)＝336；
此幾何體的體積是v＝100π＋336＝650(cm3)．
(2)底座是正四稜臺，它的斜高是
h′＝＝5，
所以它的側面積是：s側＝4×(c＋c′)h′＝180(cm2)．
16． (12分)(2011韶關摸底考試)如圖，在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3, bc＝4，ab＝5，aa1＝4，點d是ab的中點．
(1)求證：ac⊥bc1；
(2)求證：ac1∥平面cdb1.
解析：(1) ∵直三稜柱abc－a1b1c1，底面三邊長ac＝3，bc＝4，ab＝5，
∴ac⊥bc，
又abc－a1b1c1是直三稜柱，所以，cc1⊥ac
ac⊥面bcc1b1，bc1面bc1，∴ac⊥bc1；
(2)設cb1與c1b和交點為e，鏈結de，
∵d是ab的中點，e是bc1的中點， ∴de∥ac1
∵de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ac1∥平面cdb1.
17． (12分)(2023年廣東高考)如圖，在半徑為a的半圓中，ac為直徑，點e為的中點，點b和點c為線段ad的三等分點．平面aec外一點f滿足fb＝df＝a，fe＝a.
(1)證明：eb⊥fd；
(2)已知點q，r分別為線段fe，fb上的點，使得fq＝fe，fr＝fb，求平面bed與平面rqd所成二面角的正弦值．
解析：(1)證明：(1)鏈結cf.
因為△abc是半徑為a的半圓，ac為直徑，點e為的中點，所以eb⊥ac.
在rt△bce中，ec＝＝＝a.
在△bdf中，bf＝df＝a，所以△bdf是等腰三角形，且點c是底邊bd的中點，所以cf⊥bd.
在△cef中，ef2＝6a2＝(a)2＋(2a)2＝ce2＋cf2，所以△cef是rt△，即cf⊥ec.
由cf⊥bd，cf⊥ec，且ce∩bd＝c，∴fc⊥平面bed；
而eb平面bed，∴fc⊥eb
∴eb⊥平面bdf，而fd平面bdf，∴eb⊥fd；
(2)設平面bed與平面rqd的交線為dg.
由fq＝fe，fr＝fb知，qr∥eb.
而eb平面bdf，∴qr∥平面bdf，
而平面bdf∩平面rqd＝dg，
∴qr∥dg∥eb.
由(1)知，be⊥平面bdf，∴dg⊥平面bdf，
而dr平面bdf，bd平面bdf，
∴dg⊥dr，dg⊥dq，
∴∠rdq是平面bed與平面rqd所成二面角的平面角．
在rt△bcf中，cf＝＝＝2a，
sin∠rbd＝＝＝，cos∠rbd＝＝，
在△bdr中，由fr＝fb知，br＝fb＝a＝a.
由餘弦定理知，
rd＝＝＝a.
由正弦定理知，
＝，即＝，
sin∠rdb＝＝.
故平面bed與平面rqd所成二面角的正弦值是.
18． (14分)如圖，在長方體abcd－a1b1c1d1中，ad＝aa1＝1，ab>1，點e在稜ab上移動，小螞蟻從點a沿長方體的表面爬到點c1，所爬的最短路程為2.
(1)求證：d1e⊥a1d；
(2)求ab的長度；
(3)**段ab上是否存在點e，使得二面角d1－ec－d的大小為.若存在，確定點e的位置；若不存在，請說明理由．
解法一：(1)證法一：
鏈結ad1，由長方體的性質可知：ae⊥平面add1a1，
∵a1d平面add1a1，
∴ae⊥ad1，又∵ad＝aa1＝1，∴ad1⊥a1d，
ad1∩ae＝a，∴a1d⊥平面ad1e，d1e平面ad1e，
∴a1d⊥d1e.
證法二：
鏈結ad1，由長方體的性質可知：ae⊥平面add1a1，
∴ad1是ed1在平面add1a1內的射影．
空間立體幾何
1.如圖，在直三稜柱abc a1b1c1中，acb 90 bac 30 bc 1，aa1 m是稜cc1的中點 1 求證 a1b am 2 求直線am與平面aa1b1b所成角的正弦值 2.如圖，已知正三稜柱abcva1b1c1的底面邊長為2，側稜長為3，點e在側稜aa1上，點f在側稜bb1上，且ae ...
空間向量與立體幾何
一 平行與垂直問題 一 平行 線線平行 線面平行 面面平行 注意 這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。二 垂直 線線垂直 線面垂直 面面垂直 注意 畫出圖形理解結論 二 夾角與距離問題 一 夾角 二 距離 點 直線 平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點....
二十分鐘限時練習立體幾何初步
立體幾何初步 一 1 下列命題正確的是 a 有兩個面平行，其餘各面都是四邊形的幾何體叫稜柱 b 有兩個面平行，其餘各面都是平行四邊形的幾何體叫稜柱 c 有兩個面平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫稜柱 d 用乙個平面去截稜錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫稜...