典型例題一
例1 若，，則，的位置關係是（ ）．
a．異面直線 b．相交直線 c．平行直線d．相交直線或異面直線
分析：判斷兩條直線的位置關係，可以通過觀察滿足已知條件的模型或圖形而得出正確結論．
解：如圖所示，在正方體中，設，，則．
若設，則與相交．若設，則與異面．故選d．
說明：利用具體模型或圖形解決問題的方法既直觀又易於理解．一般以正方體、四面體等為具體模型．例如，，相交，，相交，則，的位置關係是相交、平行或異面．類似地；，異面，，異面，則，的位置關係是平行、相交或異面．這些都可以用正方體模型來判斷．
典型例題二
例2 已知直線和點，，求證：過點有且只有一條直線和平行．
分析：「有且只有」的含義表明既有又惟一，因而這裡要證明的有兩個方面，即存在性和惟一性．
存在性，即證明滿足條件的物件是存在的，它常用構造法（即找到滿足條件的物件來證明）；惟一性，即證明滿足條件的物件只有乙個，換句話說，說是不存在第二個滿足條件的物件．
因此，這是否定性命題，常用反證法．
證明：（1）存在性．∵ ，∴ 和可確定乙個平面，
由平面幾何知識知，在內存在著過點和平行的直線．
（2）惟一性
假設在空間過點有兩條直線和滿足和．根據公理4，必有與矛盾，
∴ 過點有一條且只有一條直線和平行．
說明：對於證明「有且只有」這類問題，一定要注意證明它的存在性和惟一性．
典型例題三
例3 如圖所示，設，，，分別是空間四邊形的邊，，，上的點，且，，求證：
（1）當時，四邊形是平行四邊形；
（2）當時，四邊形是梯形．
分析：只需利用空間等角定理證明即可．
證明：鏈結，
在中，，∴ ，且．
在中，，∴ ，且．
∴ ，
∴ 頂點，，，在由和確定的平面內．
（1）當時，，故四邊形為平行四邊形；
（2）當時，，故四邊形是梯形．
說明：顯然，課本第11頁的例題就是本題（2）的特殊情況．
特別地，當時，，，，是空間四邊形各邊中點，以它們為頂點的四邊形是平行四邊形．
如果再加上條件，這時，平行四邊形是菱形．
典型例題四
例4 已知是兩條異面直線，直線上的兩點的距離為6，直線上的兩點的距離為8，的中點分別為且，求異面直線所成的角．
分析：解題的關鍵在於依據異面直線所成角的定義構造成和異面直線平行的兩條相交直線，然後把它們歸納到某一三角形中求解．
解：如圖，鏈結，並取的中點，鏈結，
∵分別是和的中位線，
∴，，即
，．∴所成的銳角或直角是異面直線所成的角．
又∵ ，，
∴，．在中，又∵，
∴，∴．故異面直線所成的角是．
說明：在求兩條異面直線所成的角時，一般要依據已知條件，找出與兩條異面直線分別平行並且相交於一點的兩條直線．但是，異面直線所成角的定義中的點一般是在圖形中存在著的，需要認真觀察分析圖形的性質，從而找出這一點和過這一點與兩異面直線平行的直線，以得到兩條異面直線所成的角，在求這個角的大小時，一般是根據平面圖形中解三角形的知識求解的．
典型例題五
例5 已知四面體的所有稜長均為．求：
（1）異面直線的公垂線段及的長；
（2）異面直線和所成的角．
分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線的公垂線段，進而求出其距離；對於異面直線所成的角可採取平移構造法求解．
解：（1）如圖，分別取的中點，鏈結．由已知，得≌．
∴，是的中點， ∴．
同理可證 ∴是的公垂線段．
在中（2）取的中點，鏈結，則．
∴和所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角．
鏈結，在中，，，．
由餘弦定理，得 ．∴．
故異面直線和所成的角為．
說明：對於立體幾何問題要注意轉化為平面問題來解決，同時要將轉化過程簡要地寫出來，然後再求值．
典型例題六
例6 如圖所示，兩個三角形和的對應頂點的連線、、交於同一點，且．
(1)證明：，，； (2)求的值．
分析：證兩線平等當然可用平面幾何的方法．而求面積之比則需證兩個三角形相似，由於三角形是平面圖形，故也可用平面幾何的方法證明．
證明：(1)當和在點兩側時，如圖甲
∵與相交於點，且，
∴（因為、共面）．
同理，．
(2)∵，且，和，和的方向相反，∴，同理． 因此，∽．
又，∴．
當和在點的同側時，如圖乙所示，同理可得(1)(2)．
說明：此題與是否共面並不重要，因為等角定理對各種位置已作說明．
典型例題七
例7 是矩形所在平面外一點，，，與成角，與成角，，求：
(1)直線與的距離；(2)求直線與的距離．
分析：要求出與、與的距離，必須找到它們的公垂線段，公垂線段的長度即為異面直線間的距離．
解：如圖所示，在矩形中，．
∵，∴．
又，∴是異面直線、的公垂線段，
其長度為異面直線、的距離．
在中，∵是與所成的角，
∴．又，∴．
(2)在矩形中，，，
∴，又，
∴是直線、的公垂線段，其長度為異面直線、的距離．
在中，是異面直線與所成的角，∴．
又，∴，
∴直線與的距離為．
說明：(1)求異面直線之間距離的步驟是：①找（作）線段；②證線段是公垂線段；③求公垂線段的長度．
(2)求異面直線間的距離的問題，高考中一般會給出公垂線段．
典型例題八
例8 、、是三條直線，若與異面，與異面，判斷與的位置關係，並畫圖說明．
分析：這是一道考查異面直線概念及空間直線位置關係的問題，同時也考查了圖形語言的表達能力．
解：直線與的位置關係有以下三種情形如圖：
∴直線與的位置關係可能平行（圖中的(1)）；可能相交（如圖中的(2)）；
可能異面（圖中的(3)）．
說明：本題也考查了空間想象能力和邏輯劃分、分類討論的能力．
典型例題九
例9 如果兩條異面直線稱作「一對」，那麼在正方體的十二條稜中，共有幾對異面直線（ ）．
a．12對 b．24對 c．36對 d．48對
分析：一般地，立體幾何中的計數問題，是由所數的量的性質，確定一規律，然後按此規律進行計數．正方體的各稜具有相同的位置關係．所以以一條稜為基量，考察與其異面的幾對，問題可解．
解：如圖，正方體中與異面有，，，，
∵各稜具有相同的位置關係，且正方體有12條稜，排除兩稜的重複計算成本，
∴異面直線共有對．
說明：分析清楚幾何體特點是避免重複計數的關鍵．計數問題必須避免盲目亂數，做到「不重不漏」．
典型例題十
例10 如圖，已知不共面的直線，，相交於點，、是直線上兩點，、分別是，上一點．
求證：和是異面直線．
證法1：假設和不是異面直線，
則與在同一平面內，設為
∵， ∴．
又，∴．
∵且，，
∴．同理：
∴，，共面於，與已知，，不共面相矛盾，
∴、是異面直線．
證法2：∵，∴直線，確定一平面設為．
∵，，∴，，
∴且，．
又，，不共面，，∴，
∴與為異面直線．
說明：證明兩條直線異面的方法有兩種．
(1)用定義證明（即定義法）：此時需藉反證法，假設兩條直線不異面，根據空間兩條直線的位置關係，這兩條直線一定共面，即這兩條直線可能相交也可能平行，然後，推導出矛盾即可．
(2)用定理證明（即定理法）：用該法證明時，必須闡述出定理滿足的條件：，，，然後可以推導出直線與是異面直線．
典型例題十一
例11 已知平面與平面相交於直線，，為直線上的兩點．在內作直線，在內作直線．求證和是異面直線．
已知：平面平面=，，，，，如圖．
求證：、是異面直線．
證明：假設，不是異面直線，則它們必共面．
∴、、、在同一平面內．
即、、所確定的平面與、、確定的平面重合
這與平面平面=矛盾
∴、是異面直線．
說明：證明兩條直線為異面直線，用反證法往往比較簡單．
典型例題十二
例12 已知空間四邊形，求證它的對角線和是異面直線．
證法一：（反證法）如圖
假設和不是異面直線，則和在同一平面內．
∴、、、在同一平面內，即四邊形是平面四邊形，
這與已知條件矛盾，所以假設不成立．
因此和是異面直線．
證法二：（定理法）
過和作一平面，則對角線在平面內．
對角線與平面交於外的一點，即點不在直線上，
且點在平面外．
∴根據異面直線判定定理知：和是異面直線．
說明：判定兩條直線是異面直線的證明問題常用這兩種方法，即(1)反證法，(2)用判定定理．
典型例題十三
例13 已知空間四邊形，，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線．
證法一：（定理法）如圖
由題設條件可知點、不重合，設所在平面．
∴和是異面直線．
證法二：（反證法）
若和不是異面直線，則和共面，設過、的平面為．
(1)若、重合，則是的中點，這與題設相矛盾．
(2)若、不重合，
∵，，，∴．
∵，，∴、、、四點共面，這與題設是空間四邊形相矛盾．
綜上，假設不成立．
故和是異面直線．
說明：反證法不僅應用於有關數學問題的證明，在其他方面也有廣泛的應用．
首先看乙個有趣的實際問題：
「三十六口缸，九條船來裝，只准裝單，不准裝雙，你說怎麼裝？」
對於這個問題，同學們可試驗做一做．
也許你在試驗幾次後卻無法成功時，覺得這種裝法的可能性是不存在的．那麼你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？
用反證法可以輕易地解決這個問題．假設這種裝法是可行的，每條船裝缸數為單數，則9個單數之和仍為單數，與36這個雙數矛盾．只須兩句話就解決了這個問題．
典型例題十四
例14 已知、分別是正方體的稜、的中點．
求證：．
分析：欲證兩個角相等，可通過等角定理或其推論來實現．
證明：如圖，鏈結
∵，分別為，中點，
∴，∴為平行四邊形．
∴．又∵，∴ ，
∴四邊形是平行四邊形．
∴．同理．又與方向相同．
空間立體幾何
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立體幾何和空間向量 1
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