立體幾何空間向量知識點總結
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1、空間向量的概念及其運算與平面向量類似，向量加、減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關的運算律仍然成立．空間向量的數量積運算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣．
2、當、為非零向量時．是數形結合的紐帶之一，這是運用空間向量研究線線、線面、面面垂直的關鍵，通常可以與向量的運算法則、有關運算律聯絡來解決垂直的論證問題．
3、公式是應用空間向量求空間中各種角的基礎，用這個公式可以求兩異面直線所成的角（但要注意兩異面直線所成角與兩向量的夾角在取值範圍上的區別），再結合平面的法向量，可以求直線與平面所成的角和二面角等．
4、直線的方向向量與平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對位置的重要概念，通過研究方向向量與法向量之間的關係，可以確定直線與直線、直線與平面、平面與平面等的位置關係以及有關的計算問題．
5、用空間向量判斷空間中的位置關係的常用方法
（1）線線平行
證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．
（2）線線垂直
證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直，即．
（3）線面平行
用向量證明線面平行的方法主要有：
①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；
②證明可在平面內找到乙個向量與直線方向向量是共線向量；
③利用共面向量定理，即證明可在平面內找到兩不共線向量來線性表示直線的方向向量．
（4）線面垂直
用向量證明線面垂直的方法主要有：
①證明直線方向向量與平面法向量平行；
②利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題．
（5）面面平行
①證明兩個平面的法向量平行（即是共線向量）；
②轉化為線面平行、線線平行問題．
（6）面面垂直
①證明兩個平面的法向量互相垂直；
②轉化為線面垂直、線線垂直問題．
6、運用空間向量求空間角
（1）求兩異面直線所成角
利用公式，
但務必注意兩異面直線所成角θ的範圍是，
故實質上應有：．
（2）求線面角
求直線與平面所成角時，一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量，通過數量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線方向向量與平面法向量的夾角φ，即可求出直線與平面所成的角θ，其關係是sinθ＝| cosφ|．
（3）求二面角
用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義，在兩個麵內先求出與稜垂直的兩條直線對應的方向向量，然後求出這兩個方向向量的夾角，由此可求出二面角的大小；另一種方法是轉化為求二面角的兩個面的法向量的夾角，它與二面角的大小相等或互補．
7、運用空間向量求空間距離
空間中的各種距離一般都可以轉化為求點與點、點與線、點與面的距離．
（1）點與點的距離
點與點之間的距離就是這兩點間線段的長度，因此也就是這兩點對應向量的模．
（2）點與面的距離
點麵距離的求解步驟是：
①求出該平面的乙個法向量；
②求出從該點出發的平面的任一條斜線段對應的向量；
③求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即得要求的點麵距離．
備考建議：
1、空間向量的引入，把平面向量及其運算推廣到空間，運用空間向量解決有關直線、平面位置關係的問題，應體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發展空間想像能力和幾何直觀能力．
2、靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題．
3、在解決立體幾何中有關平行、垂直、夾角、距離等問題時，直線的方向向量與平面的法向量有著舉足輕重的地位和作用，它的特點是用代數方法解決立體幾何問題，無需進行繁、難的幾何作圖和推理論證，起著從抽象到具體、化難為易的作用．因此，應熟練掌握平面法向量的求法和用法．
4、加強運算能力的培養，提高運算的速度和準確性．
第一講空間向量及運算
一、空間向量的有關概念
1、空間向量的定義
在空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量．注意空間向量和數量的區別．數量是只有大小而沒有方向的量．
2、空間向量的表示方法
空間向量與平面向量一樣，也可以用有向線段來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用有向線段的方向表示向量的方向．若向量對應的有向線段的起點是a，終點是b，則向量可以記為，其模長為或．
3、零向量
長度為零的向量稱為零向量，記為．零向量的方向不確定，是任意的．由於零向量的這一特殊性，在解題中一定要看清題目中所指向量是「零向量」還是「非零向量」．
4、單位向量
模長為1的向量叫做單位向量．單位向量是一種常用的、重要的空間向量，在以後的學習中還要經常用到．
5、相等向量
長度相等且方向相同的空間向量叫做相等向量．若向量與向量相等，記為=.零向量與零向量相等，任意兩個相等的非零向量都可以用空間中的同一條有向線段來表示，並且與有向線段的起點無關．
6、相反向量
長度相等但方向相反的兩個向量叫做相反向量．的相反向量記為－
二、共面向量
1、定義
平行於同一平面的向量叫做共面向量．
2、共面向量定理
若兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數對x、y,使得=。
3、空間平面的表示式
空間一點p位於平面mab內的充要條件是存在有序實數對x、y使或對空間任一定點o,有或（其中）這幾個式子是m,a,b,p四點共面的充要條件．
三、空間向量基本定理
1、定理
如果三個向量、、不共面，那麼對空間任一向量，存在唯一的有序實陣列x、y、z，使=
2、注意以下問題
（1）空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的乙個基底．
（2）由於可視為與任意乙個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面，就隱含著它們都不是。
（3）乙個基底是指乙個向量組，乙個基向量是指基底中的某乙個向量，兩者是相關聯的不同概念．
由空間向量的基本定理知，若三個向量、、不共面。那麼所有空間向量所組成的集合就是,這個集合可看做是由向量、、生成的，所以我們把稱為空間的乙個基底。、、叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可構成空間的乙個基底．
3、向量的座標表示
（1）單位正交基底
如果空間的乙個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用表示．
（2）空間直角座標系
在空間選定一點o和乙個單位正交基底以點o為原點，分別以、、的方向為正方向建立三條數軸:x軸、y軸、z軸，它們都叫座標軸．則建立了乙個空間直角座標系o－xyz,點o叫原點，向量、、都叫座標向量．
（3）空間向量的座標
給定乙個空間直角座標系和向量,且設、、為座標向量，存在唯一有序陣列（x，y，z）使，有序陣列（x，y，z）叫做在空間直角座標系o－xyz中的座標，記為=。
對座標系中任一點a，對應乙個向量，則=。在單位正交基底、、中與向量對應的有序實陣列（x，y，z），叫做點a在此空間直角座標系中的座標，記為a（x，y，z）.
四、空間向量的運算
1、空間向量的加法
三角形法則（注意首尾相連）、平行四邊形法則，
加法的運算律：交換律
結合律2、空間向量的減法及幾何作法
幾何作法：在平面內任取一點o，作，則，即從的終點指向的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義．
3、空間向量的數乘運算
（1）定義
實數與的積是乙個向量，記為，它的模與方向規定如下：
① ② 當時，與同向；當時，與異向；當時．
注意：① 關於實數與空間向量的積的理解：我們可以把的模擴大（當》1時），也可以縮小（< 1 時），同時，我們可以不改變向量的方向（當時），也可以改變向量的方向（當時）。 .
② 注意實數與向量的積的特殊情況，當時，；當，若時，有。
③ 注意實數與向量可以求積，但是不能進行加減運算．比如，無法運算。
（2）實數與空間向量的積滿足的運算律
設λ、μ是實數，則有
結合律）
（第一分配律）
（第二分配律）
實數與向量的積也叫數乘向量．
4、共線向量
（1）共線向量定義
若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量，也叫做平行向量。若與是共線向量，則記為//。
注意：零向量和空間任一向量是共線向量．
（2）共線向量定理
對空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數λ使＝λ
（3）空間直線的向量表示式
如果直線 l 是經過已知點 a 且平行於已知非零向量的直線，那麼對任一點 o，點p在直線 l 上的充要條件是存在實數t，滿足等式，其中向量叫做直線 l 的方向向量．
注意：①若在 l 上取，則有
②上式可解決三點p、a、b 共線問題的表示或判定．
③當時，，點p為ab的中點，這是中點公式的向量表示式．
④ 若p分所成比為，則
5、空間直角座標系
在空間直角座標系中，三條座標軸兩兩互相垂直，軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸正半軸沿逆時針方向轉 900能與 y 軸的正半軸重合。讓右手拇指指向 x 軸正方向．食指指向 y 軸的正方向，如果中指指向 z 軸的正方向，那麼稱這個座標係為右手直角座標系。
一般情況下，建立的座標系都是右手直角座標系．
在平面上畫空間直角座標系 o－xyz 時，一般使∠xoy=135°，∠yoz=90°。
空間兩點間的距離公式是平面上兩點間距離公式的推廣，是空間向量模長公式的推廣，如果知道兒何體上任意兩點的座標．我們就可直接套用．
設，則 特別地，p1（x,y,z）到原點的距離
6、空間向量的數量積運算
其中的夾角，範圍是[0，π]，注意數量積的性質和運算律。
1. 性質
若是非零向量，是與方向相同的單位向量，θ是的夾角，則
（1）（2）（3）若同向，則；
若反向，則；
特別地：
（4）若θ為
（5）2. 運算律
空間向量與立體幾何知識點歸納總結
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空間向量與立體幾何知識點 學生版
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