空間向量知識點班級姓名
1.設，，則．
． ． ．
若、為非零向量，則．
若，則． ．
2. 空間向量的數量積
（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。
（2）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。
（3）向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即。
（4）空間向量數量積的性質：①。②。③。
（5）空間向量數量積運算律：
①。②（交換律）。
③（分配律）。
④不滿足乘法結合率：
（4）模長公式：若，，
則， （5）夾角公式：。
δabc中①<=>a為銳角②<=>a為鈍角，鈍角δ
（6）兩點間的距離公式：若，，則，或
（7），三角形重心p座標為
（8）δabc的五心：
內心p：內切圓的圓心，角平分線的交點。（單位向量）
外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點。
垂心p：高的交點：（移項，內積為0，則垂直）
重心p：中線的交點，三等分點（中位線比）
中心：正三角形的所有心的合一。
二．空間向量與立體幾何
1．線線平行兩線的方向向量平行 1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直
1-2麵麵平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直
2-1線面垂直線與面的法向量平行 2-2麵麵垂直兩面的法向量垂直
1．異面直線所成的角的求法．異面直線所成角的範圍：
1.設兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為a，b，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.
1．已知直線l1的乙個方向向量為a＝(1，－2,1)，直線l2的乙個方向向量為b＝(2，－2,0)，則兩直線所成角的余弦值為( )
a．1 b. cd.
解析：cosθ＝＝＝＝.
2．直線與平面所成的角的求法
①線面平行或直線在平面內：線面所成的角為； ②線面垂直：線面所成的角為；
③斜線與平面所成的角：範圍；即也就是斜線與它在平面內的射影所成的角。
線面所成的角範圍：設直線l與平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n. 則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.
3．二面角的求法
(1)設二面角α－l－β的平面角為 θ，平面α、β的法向量分別為n1，n2，則
|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝.
(2)二面角的平面角也可轉化為兩直線的方向向量的夾角．在兩個半平面內，各取一直線與稜垂直，當直線的方向向量的起點在稜上時，兩方向向量的夾角即為二面角的平面角．
(3)二面角a－l－β的平面角為θ，平面α、β的法向量分別為n1，n2，如何去掉|cosθ|中的絕對值號？
提示：當n1，n2所在的角與θ相等時，cosθ＝cos〈n1，n2〉；當n1，n2所成角與θ互補時，cosθ＝－cos〈n1，n2〉．
4．空間的距離設a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，
則ab＝||＝.
特別地，oa＝||＝.(其中o為座標原點)
2．點到直線的距離
(1)點p到直線l的距離，即由點p向l作垂線，所得垂線段的長，可通過解三角形獲得．
3．點p到平面α的距離，
即為由p點向平面α作垂線所得垂線段的長，可通過解三角形或等體積法求解．
4.點麵距離：求點到平面的距離： 在平面上去一點，得向量;； 計算平面的法向量;.
4-1線面距離（線面平行）：轉化為點麵距離
4-2麵麵距離（面面平行）：轉化為點麵距離
1.在四稜錐p－abcd中，四邊形abcd為正方形，pd⊥平面abcd，pd＝da＝2，f、e分別為ad、pc的中點．(1)證明de∥平面pfb；(2)求點e到平面pfb的距離．
解：(1)證明：以d為原點，建立如圖8所示的座標系，
則p(0,0,2)、f(1,0,0)、b(2,2,0)、e(0,1,1)．
＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，＝(0,1,1)．∴＝＋.
∴∥平面pfb.
又∵d平面pfb，∴de∥平面pfb.
(2)平面pfb的法向量為n＝(x，y，z)，則令x＝2，
則∴法向量n＝(2，－1,1)．又∵＝(0,1，－1)，
∴d＝＝＝.∴點e到面pfb的距離為.
2.在四稜錐p-abcd中，底面abcd為矩形，pa⊥平面abcd，點 e**段pc上，pc⊥平面bde．
（1）證明：bd⊥平面pac；（2）若pa=1，ad=2，求二面角b-pc-a的余弦值；
空間向量與立體幾何知識點
立體幾何空間向量知識點總結 知識網路 知識點撥 1 空間向量的概念及其運算與平面向量類似，向量加 減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關的運算律仍然成立 空間向量的數量積運算 共線向量定理 共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣 2 當 為非零向量時 是...
空間向量與立體幾何知識點歸納總結
一對一授課教案 學員姓名年級所授科目 上課時間 年月日時分至時分共小時 一 知識要點。1.空間向量的概念 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注 1 向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。2 向量具有平移不變性 2.空間向量的運算。定義 與平面向量運算一樣，空間向量的加...
空間向量與立體幾何知識點歸納總結
一 知識要點。1.空間向量的概念 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注 1 向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。2 向量具有平移不變性 2.空間向量的運算。定義 與平面向量運算一樣，空間向量的加法 減法與數乘運算如下 如圖 運算律 加法交換律 加法結合律 數乘分配律...