一．知識要點。
1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不變性
2. 空間向量的運算。
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。
;;運算律：⑴加法交換律：
⑵加法結合律：
⑶數乘分配律：
運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則
3. 共線向量。
（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那麼這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行於，記作。
（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//存在實數λ，使＝λ。
（3）三點共線：a、b、c三點共線<=>
<=>（4）與共線的單位向量為
4. 共面向量
（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。
說明：空間任意的兩向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實數使。
（3）四點共面：若a、b、c、p四點共面<=>
<=>5. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列，使。
若三向量不共面，我們把叫做空間的乙個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的乙個基底。
推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數，使。
6. 空間向量的直角座標系：
（1）空間直角座標系中的座標：
在空間直角座標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實陣列，使，有序實陣列叫作向量在空間直角座標系中的座標，記作，叫橫座標，叫縱座標，叫豎座標。
注：①點a（x,y,z）關於x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關於xoy平面的對稱點為(x,y,-z).即點關於什麼軸/平面對稱，什麼座標不變，其餘的分座標均相反。
②在y軸上的點設為(0,y,0),在平面yoz中的點設為(0,y,z)
（2）若空間的乙個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示。空間中任一向量=（x,y,z）
（3）空間向量的直角座標運算律：
①若，，則，
，， ，， 。
②若，，則。
乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標。
③定比分點公式：若，，，則點p座標為。推導：設p（x,y,z）則,顯然，當p為ab中點時，
④，三角形重心p座標為
⑤δabc的五心：
內心p：內切圓的圓心，角平分線的交點。（單位向量）
外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點。
垂心p：高的交點：（移項，內積為0，則垂直）
重心p：中線的交點，三等分點（中位線比）
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模長公式：若，，
則， （5）夾角公式：。
δabc中①<=>a為銳角②<=>a為鈍角，鈍角δ
（6）兩點間的距離公式：若，，
則，或7. 空間向量的數量積。
（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。
（2）向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。
（3）向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即。
（4）空間向量數量積的性質：
①。②。③。
（5）空間向量數量積運算律：
①。②（交換律）。
③（分配律）。
④不滿足乘法結合率：
新課標高二數學同步測試—（2－1第三章3.1）
一、選擇題：
1．在平行六面體abcd—a1b1c1d1中，m為ac與bd的交點，若=，=，=.則下列向量中與相等的向量是（ ）
a． b．
c． d．
2．在下列條件中，使m與a、b、c一定共面的是
a． b．
c． d．
3．已知平行六面體中，ab=4，ad=3，，，，則等於
a．85 b． c． d．50
4．與向量平行的乙個向量的座標是
a．（，1，1b．（－1，－3，2）
c．（－，，－1） d．（，－3，－2）
5．已知a（－1，－2，6），b（1，2，－6）o為座標原點，則向量的夾角是（ ）
a．0 bcd．
6．已知空間四邊形abcd中，，點m在oa上，且om=2ma，n為bc中點，則
ab．cd．7．設a、b、c、d是空間不共面的四點，且滿足，則bcd是
a．鈍角三角形 b．銳角三角形 c．直角三角形 d．不確定
8．空間四邊形oabc中，ob=oc，aob=aoc=600，則cos
a． b． c． d．0
9．已知a（1，1，1）、b（2，2，2）、c（3，2，4），則abc的面積為
a． b． c． d．
10． 已知，則的最小值為
a． b． c． d．
二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）．
11．若，，則為鄰邊的平行四邊形的面積為
12．已知空間四邊形oabc，其對角線為ob、ac，m、n分別是對邊oa、bc的中點，點g**段mn上，且，現用基組表示向量，有=x，則x、y、z的值分別為
13．已知點a(1，2，11)、b(4，2，3)，c(6，1，4)，則abc的形狀是
14．已知向量，，若成1200的角，則k
三、解答題：
15．如圖，已知正方體的稜長為a，m為的中點，點n在'上，且，試求mn的長．
16如圖所示，直三稜柱abc—a1b1c1中，ca=cb=1，∠bca=90°，稜aa1=2，m、n分別是a1b1、a1a的中點.
（1）求的長；
（2）求cos< >的值
（3）求證：a1b⊥c1m.
二．空間向量與立體幾何
1.平面的法向量
如果表示非零向量的有向線段所在直線垂直於平面，那麼稱向量垂直於平面，記作⊥，此時我們把向量叫做的法向量.
注：平面的法向量不是唯一的，因此採取靈活多樣的方法來求出平面的法向量.
2平面法向量的求法：
①、幾何體中已經給出有向線段，只需證明線面垂直.
②、幾何體中沒有具體的直線，此時可以採用待定係數法求解平面的法向量
用待定係數法求解，一般步驟如下：
1、設出平面的法向量為.
2、找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的座標
， 3根據法向量的定義建立關於的方程組.
4解方程組，取其中的乙個解，即取法向量
注（*）：由於乙個平面的法向量有無數個，故可在帶入方程的解中取乙個最簡單的作為平面的法向量
3直線方向向量與平面的法向量與它們相對位置關係的判斷方法
1．線線平行兩線的方向向量平行
1-1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直
1-2麵麵平行兩面的法向量平行
2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直
2-1線面垂直線與面的法向量平行
2-2麵麵垂直兩面的法向量垂直
典型例題
題型一：證明多點共面
方法：若四點中任意三點不共線，則四點共面的充要條件為存在實數，使
例：已知平行四邊形，從平面外一點o引向量.求證：四點共面
題型二：證明多線共面
方法：1先由兩條直線確定乙個平面並確定出此平面的乙個基底；
2證明另外一些直線與此平面有交點，並可被所確定的基底線性表示.
題型三：異面直線的距離
第一步：求出異面直線的方向向量.
第二步：求出與的方向向量都垂直的向量，即直線公垂線的方向向量
第三步：在直線上任取兩點
第四步：求出在投影的絕對值，即為異面直線間距離
例：1正四稜錐的高，底邊長，則異面直線和之間的距離（ ）
a． b． c ． d．
2在正方體中，為的中點，則異面直線和間的距離 ．
題型四：點到線距離求解
方法：設空間一點為a，直線為，其方向向量為，在直線上任取一點，則點到直線的距離
例：設正方體中，邊長為2，e為中點，求與交點o到ac的距離
題型五：點到面距離求解
方法：如圖，設ab為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則b到平面α的距離d
例：知在長方體abcd－a1b1c1d1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點a1到截面ab1d1的距離是________．答案：
題型八：求線到面、面到面的距離：這類問題可以轉化為點到面的距離
例：在稜長為的正方體中，則平面與平面間的距離
a． b． c ． d．
題型九：異面直線所成角的求解
方法：線線夾角（共面與異面）兩線的方向向量的夾角或夾角的補角，
例：在直三稜柱a1b1c1－abc中，∠bca＝90°，點d1、f1分別是a1b1、a1c1的中點，bc＝ca＝cc1，則bd1與af1所成的角的余弦值是( )
a. b.
c. d.
答案：a
題型十：線面所成角的求解
方法：線面夾角：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其餘角，即是線面的夾角.
例：[2013·佛山質檢]已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e是a1b1的中點，求直線ae與平面abc1d1所成角的正弦值________．答案：
題型十一：二面角的平面角的求解
方法：：若兩面的法向量一進一出，則二面角等於兩法向量的夾角；法向量同進同出，則二面角等於法向量的夾角的補角.
例：如圖，在四稜錐p－abcd中，底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，ap＝ab＝2，bc＝2，e，f分別是ad，pc的中點．
(1)證明：pc⊥平面bef；
(2)求平面bef與平面bap夾角的大小．
練習：１已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1，求平面a1bc1與平面abcd所成的二面角的大小
２．已知稜長為1的正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f、m分別是a1c1、a1d和b1a上任一點，求證：平面a1ef∥平面b1mc．
３．在四稜錐p—abcd中，底面abcd是一直角梯形，∠bad=90°，ad∥bc，ab=bc=a，ad=2a，且pa⊥底面abcd，pd與底面成30°角．
空間向量與立體幾何知識點歸納總結
一對一授課教案 學員姓名年級所授科目 上課時間 年月日時分至時分共小時 一 知識要點。1.空間向量的概念 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注 1 向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。2 向量具有平移不變性 2.空間向量的運算。定義 與平面向量運算一樣，空間向量的加...
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空間向量與立體幾何知識點 學生版
空間向量與立體幾何知識點歸納總結 一 知識要點 1.空間向量的概念 在空間，我們把具有和的量叫做向量。相等向量的概念 2.空間向量的運算。運算律 加法交換律 加法結合律 數乘分配律 3.共線向量。1 如果表示空間向量的有向線段所在的直線那麼這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行於，記作。2 共線向量...