第一章空間幾何體
（一）空間幾何體的結構特徵
（1）多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.
圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜，稜與稜的公共點叫做頂點。
旋轉體——把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。
（2）柱，錐，球的結構特徵
1.稜柱
1.1稜柱——有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱。
1.2相關稜柱幾何體系列（稜柱、斜稜柱、直稜柱、正稜柱）的關係：
[, ] 底面為平行四邊形 側稜垂直於底面 底面為矩形
底面為正方形 側稜與底面邊長相等
1.3稜柱的性質：
側稜都相等，側面是平行四邊形；
兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形；
過不相鄰的兩條側稜的截面是平行四邊形；
直稜柱的側稜長與高相等，側面與對角面是矩形。
1.4長方體的性質：
長方體一條對角線長的平方等於乙個頂點上三條稜的平方和；【如圖】
（了解）長方體的一條對角線與過頂點a的三條稜所成的角分別是，那麼，；
（了解）長方體的一條對角線與過頂點a的相鄰三個面所成的角分別是，則，.
1.5側面展開圖：正n稜柱的側面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側稜長為鄰邊的矩形.
1.6面積、體積公式：（其中c為底面周長，h為稜柱的高）
2.圓柱
2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.
2.2圓柱的性質：上、下底及平行於底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.
2.3側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.
2.4面積、體積公式：
s圓柱側=；s圓柱全=，v圓柱=s底h=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）
3.稜錐
3.1稜錐——有乙個面是多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐。
正稜錐——如果有乙個稜錐的底面是正多邊形，並且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。
3.2稜錐的性質：
平行於底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
正稜錐各側稜相等，各側面是全等的等腰三角形；
正稜錐中六個元素，即側稜、高、斜高、側稜在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形。）（如上圖： 為直角三角形）
3.3側面展開圖：正n稜錐的側面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。
3.4面積、體積公式：s正稜錐側=，s正稜錐全=，v稜錐=.（其中c為底面周長，側面斜高，h稜錐的高）
4.圓錐
4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。
4.2圓錐的性質：
平行於底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
軸截面是等腰三角形；如右圖：
如右圖：.
4.3圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。
4.4面積、體積公式：
s圓錐側=，s圓錐全=，v圓錐=（其中
r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長）
7.球7.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.
或空間中，與定點距離等於定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；
7.2球的性質：
球心與截面圓心的連線垂直於截面；
（其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為r、截面的半徑為r）
7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長方體，球與正方體等的內接與外切.
注：球的有關問題轉化為圓的問題解決.
7.4球面積、體積公式：（其中r為球的半徑）
例：（06年福建卷）已知正方體的八個頂點都在球面上，且球的體積為，則正方體的稜長為_________
（二）空間幾何體的三檢視與直觀圖
1.投影：區分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。
2.三檢視——是觀察者從三個不同位置觀察同乙個空間幾何體而畫出的圖形；
正檢視——光線從幾何體的前面向後面正投影，得到的投影圖；
側檢視——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；
俯檢視——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；
注：（1）俯檢視畫在正檢視的下方，「長度」與正檢視相等；側檢視畫在正檢視的右邊，「高度」與正檢視相等，「寬度」與俯檢視。（簡記為「正、側一樣高，正、俯一樣長，俯、側一樣寬」.
（2）正檢視，側檢視，俯檢視都是平面圖形，而不是直觀圖。
3.直觀圖：
3.1直觀圖——是觀察著站在某一點觀察乙個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。
3.2斜二測法：
step1：在已知圖形中取互相垂直的軸ox、oy，（即取）；
step2：畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；
step3：在座標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變，平行於x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行於y軸（或在y軸上）的線段長度減半。
結論：一般地，採用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的倍.
解決兩種常見的題型時應注意：（1）由幾何體的三檢視畫直觀圖時，一般先考慮「俯檢視」.
（2）由幾何體的直觀圖畫三檢視時，能看見的輪廓線和稜畫成實線，不能看見的輪廓線和稜畫成虛線。
第二章點、直線、平面之間的位置關係
（一） 平面的基本性質
1.平面——無限延展，無邊界
1.1三個定理與三個推論
公理1：如果一條直線上有兩點在乙個平面內，那麼直線在平面內。
用途：常用於證明直線在平面內.
圖形語言符號語言：
公理2：不共線的三點確定乙個平面. 圖形語言：
推論1：直線與直線外的一點確定乙個平面. 圖形語言：
推論2：兩條相交直線確定乙個平面. 圖形語言：
推論3：兩條平行直線確定乙個平面. 圖形語言：
用途：用於確定平面。
公理3：如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩個平面的交線）.
用途：常用於證明線在麵內，證明點**上.
圖形語言符號語言：
形語言，文字語言，符號語言的轉化：
（二）空間圖形的位置關係
1.空間直線的位置關係：
1.1平行線的傳遞公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：
1.2等角定理：如果乙個角的兩邊與另乙個角的兩邊分別平行，那麼這兩個角相等或互補。
1.3異面直線：（1）定義：不同在任何乙個平面內的兩條直線——異面直線；
2）判定定理：連平面內的一點與平面外一點的直線與這個平面內不過此點的直線是異面直線。
圖形語言： 符號語言：
1.4異面直線所成的角：（1）範圍：；（2）作异面直線所成的角：平移法.
如右圖，在空間任取一點o，過o作，則所成的角為異面直線所成的角。特別地，找異面直線所成的角時，經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點（如線段中點，端點等）上，形成異面直線所成的角.
2.直線與平面的位置關係：
圖形語言：
3.平面與平面的位置關係：
（三）平行關係（包括線面平行，面面平行）
1.線面平行：
定義：直線與平面無公共點.
判定定理：（線線平行線面平行）【如圖】
性質定理：（線面平行線線平行）【如圖】
判定或證明線面平行的依據：（）定義法（反證）：（用於判斷）；（）判定定理： 「線線平行面面平行」（用於證明）；（）「面面平行線面平行」（用於證明）；（4）（用於判斷）；
2.線面斜交：
直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面**影的夾角。【如圖】於o，則ao是pa在平面內的射影， 則就是直線pa與平面所成的角。
範圍：，注：若，則直線與平面所成的角為；若，則直線與平面所成的角為。
3.麵麵平行：
定義：；
判定定理：如果乙個平面內的兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼兩個平面互相平行；
符號表述： 【如下圖】
圖圖推論：乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面的兩條直線，那麼這兩個平面互相平行
符號表述： 【如上圖】
判定2：垂直於同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：.【如右圖】
判定與證明面面平行的依據：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2
面面平行的性質：（1）（面面平行線面平行）；（2）；（面面平行線線平行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。【如圖】
（四）垂直關係（包括線面垂直，面面垂直）
1.線面垂直
定義：若一條直線垂直於平面內的任意一條直線，則這條直線垂直於平面。
符號表述：若任意都有，且，則.
判定定理：（線線垂直線面垂直）
性質：（1）（線面垂直線線垂直）；（2）；
證明或判定線面垂直的依據：（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；（3）（較常用）；（4）；（5）（面面垂直線面垂直）常用；
三垂線定理及逆定理：
（）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜線段中，（1）斜線相等射影相等；（2）斜線越長射影越長；（3）垂線段最短。【如圖】；
（）三垂線定理及逆定理：已知，斜線pa在平面內的射影為oa，，
若，則——垂直射影垂直斜線，此為三垂線定理；
若，則——垂直斜線垂直射影，此為三垂線定理的逆定理；
三垂線定理及逆定理的主要應用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點到線的垂線段；【如圖】
3.2麵麵斜交
二面角：（1）定義：【如圖】
範圍：作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常用）；（3）垂面法.
3.3麵麵垂直
（1）定義：若二面角的平面角為，則；
（2）判定定理：如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直.
立體幾何知識點歸納
1斜二測法 step1 在已知圖形中取互相垂直的軸ox oy，即取 step2 畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面 step3 在座標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變，平行於x軸 或在x軸上 的線段保持長度不變，平行於y軸 或在y軸上 的線段長度減半...
立體幾何知識點歸納
第一章空間幾何體 一 空間幾何體的結構特徵 1 多面體 由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜，稜與稜的公共點叫做頂點。旋轉體 把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。2 柱，錐，...
立體幾何知識點歸納總結
第一章空間幾何體 一 空間幾何體的結構特徵 1 多面體 由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜，稜與稜的公共點叫做頂點。旋轉體 把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。2 柱，錐，...