第一章空間幾何體
（一）空間幾何體的結構特徵
（1）多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.
圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜，稜與稜的公共點叫做頂點。
旋轉體——把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。
（2）柱，錐，臺，球的結構特徵
1.稜柱
1.1稜柱——有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱。
1.2相關稜柱幾何體系列（稜柱、斜稜柱、直稜柱、正稜柱）的關係：
[, ] 底面為平行四邊形 側稜垂直於底面 底面為矩形
底面為正方形 側稜與底面邊長相等
1.3稜柱的性質：
側稜都相等，側面是平行四邊形；
兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形；
過不相鄰的兩條側稜的截面是平行四邊形；
直稜柱的側稜長與高相等，側面與對角面是矩形。
1.4長方體的性質：
長方體一條對角線長的平方等於乙個頂點上三條稜的平方和；【如圖】
（了解）長方體的一條對角線與過頂點a的三條稜所成的角分別是，那麼，；
（了解）長方體的一條對角線與過頂點a的相鄰三個面所成的角分別是，則，.
1.5側面展開圖：正n稜柱的側面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側稜長為鄰邊的矩形.
1.6面積、體積公式：（其中c為底面周長，h為稜柱的高）
2.圓柱
2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.
2.2圓柱的性質：上、下底及平行於底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.
2.3側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.
2.4面積、體積公式：
s圓柱側=；s圓柱全=，v圓柱=s底h=（其中r為底面半徑，h為圓柱高）
3.稜錐
3.1稜錐——有乙個面是多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐。
正稜錐——如果有乙個稜錐的底面是正多邊形，並且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。
3.2稜錐的性質：
平行於底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
正稜錐各側稜相等，各側面是全等的等腰三角形；
正稜錐中六個元素，即側稜、高、斜高、側稜在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形。）（如上圖： 為直角三角形）
3.3側面展開圖：正n稜錐的側面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。
3.4面積、體積公式：s正稜錐側=，s正稜錐全=，v稜錐=.（其中c為底面周長，側面斜高，h稜錐的高）
4.圓錐
4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。
4.2圓錐的性質：
平行於底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
軸截面是等腰三角形；如右圖：
如右圖：.
4.3圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。
4.4面積、體積公式：
s圓錐側=，s圓錐全=，v圓錐=（其中
r為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長）
5.稜臺
5.1稜臺——用乙個平行於底面的平面去截稜錐，我們把截面與底面之間的部分稱為稜臺.
5.2正稜臺的性質：
各側稜相等，各側面都是全等的等腰梯形；
正稜臺的兩個底面以及平行於底面的截面是正多邊形；
如右圖：四邊形都是直角梯形
稜臺經常補成稜錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.
5.3稜臺的表面積、體積公式：側，，（其中是上，下底面面積，h為稜臺的高）
6.圓台
6.1圓台——用平行於圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓台.
6.2圓台的性質：
圓台的上下底面，與底面平行的截面都是圓；
圓台的軸截面是等腰梯形；
圓台經常補成圓錐來研究。如右圖：
，注意相似比的應用.
6.3圓台的側面展開圖是乙個扇環；
6.4圓台的表面積、體積公式：，
v圓台，（其中r，r為上下底面半徑，h為高）
7.球7.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.
或空間中，與定點距離等於定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；
7.2球的性質：
球心與截面圓心的連線垂直於截面；
（其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為r、截面的半徑為r）
7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長方體，球與正方體等的內接與外切.
注：球的有關問題轉化為圓的問題解決.
7.4球面積、體積公式：（其中r為球的半徑）
例：（06年福建卷）已知正方體的八個頂點都在球面上，且球的體積為，則正方體的稜長為_________
（二）空間幾何體的三檢視與直觀圖
1.投影：區分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。
2.三檢視——是觀察者從三個不同位置觀察同乙個空間幾何體而畫出的圖形；
正檢視——光線從幾何體的前面向後面正投影，得到的投影圖；
側檢視——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；
正檢視——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；
注：（1）俯檢視畫在正檢視的下方，「長度」與正檢視相等；側檢視畫在正檢視的右邊，「高度」與正檢視相等，「寬度」與俯檢視。（簡記為「正、側一樣高，正、俯一樣長，俯、側一樣寬」.
（2）正檢視，側檢視，俯檢視都是平面圖形，而不是直觀圖。
3.直觀圖：
3.1直觀圖——是觀察著站在某一點觀察乙個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。
3.2斜二測法：
step1：在已知圖形中取互相垂直的軸ox、oy，（即取 ）；
step2：畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；
step3：在座標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變，平行於x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行於y軸（或在y軸上）的線段長度減半。
結論：一般地，採用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的倍.
解決兩種常見的題型時應注意：（1）由幾何體的三檢視畫直觀圖時，一般先考慮「俯檢視」.
（2）由幾何體的直觀圖畫三檢視時，能看見的輪廓線和稜畫成實線，不能看見的輪廓線和稜畫成虛線。
2、證明題。證明平行關係，垂直關係等方面的問題。
（1）基礎知識網路：
請根據以上知識網路圖，寫出相關定理的圖形語言與符號語言.
（2）相關例題：
例1（06廣州市高一質量抽測）如右圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，e、f為稜ad、ab的中點．
（1）求證：ef∥平面cb1d1；
（2）求證：b1d1⊥平面caa1c1
例2.如圖，已知矩形abcd中，ab=10，bc=6，將矩形沿對角線bd把△abd折起，使a移到點，且在平面bcd上的射影o恰好在cd上．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：平面平面；
（ⅲ）求三稜錐的體積（答案：）
3、計算題。包括空間角（異面直線所成的角，線面角，二面角）和空間幾何體的表面積、體積的計算。
（1）對於空間角和空間距離的計算，關鍵是做好「三步曲」：step1：找；step2：證；step3：計算。
1.1求異面直線所成的角：
解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法
二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證明線線平行；
三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；
1.2求直線與平面所成的角：關鍵找「兩足」：垂足與斜足
解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內的射影的夾角（注意三垂線定理的應用）；
二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補角）（常需證明線面垂直）；
三計算：常通過解直角三角形，求出線面角。
1.3求二面角的平面角
解題步驟：一找：根據二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角；
二證：證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）；
三計算：通過解三角形，求出二面角的平面角。
（2）對於幾何體的表面積、體積的計算，關鍵是搞清量與量之間關係，熟練應用公式進行計算。已知三檢視，求幾何體體積。平面圖形直觀圖面積與原圖形面積的互相轉化。
（3）相關例題：
例1.如圖,四稜錐p—abcd的底面abcd為正方形，pd⊥底面abcd，pd=ad.求證：（1）平面pac⊥平面pbd；
（2）求pc與平面pbd所成的角；
例2．乙個水平放置的三角形的斜二側直觀圖是等腰直角
三角形，若，那麼原abo的面積是（ ）
a． b． c． d．
例3.（06深圳寶安中學期末考）如圖，為乙個幾何體的正檢視，側檢視和俯檢視為全等的等腰梯形，上、下底邊長分別為，。俯檢視中，內、均外為正方形，邊長分別為，，幾何體的高為，求此幾何體的表面積和體積。
答案s全面積=20+12,
例4.如圖所示，已知正四稜錐s—abcd側稜長為，底面邊長為，e是sa的中點，則異面直線be與sc所成角的大小為 （b
(a) 90° (b) 60°
(c) 45° (d) 30°
例5.如圖，在底面為平行四邊形的四稜錐p－abcd中，平面abcd，且pa＝ab，點e是pd的中點.（1）求證：
；（2）求證：平面aec；（3）若，求三稜錐e－acd的體積；（4）求二面角e－ac－d的大小.（單元考題）
三、訓練題
1．如圖，正方體中，稜長為（1）求證：直線平面
（2）求證：平面平面；
2. 如圖，稜長為1的正方體abcd-a1b1c1d1中，
(1) 求證：ac⊥平面b1d1db;
(2) 求證：bd1⊥平面acb1
(3) 求三稜錐b-acb1體積．
3.如圖，abcd是正方形，o是正方形的中心，po底面
abcd，e是pc的中點。 求證：（1）pa∥平面bde ；
立體幾何知識點歸納
1斜二測法 step1 在已知圖形中取互相垂直的軸ox oy，即取 step2 畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面 step3 在座標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變，平行於x軸 或在x軸上 的線段保持長度不變，平行於y軸 或在y軸上 的線段長度減半...
立體幾何知識點歸納
第一章空間幾何體 一 空間幾何體的結構特徵 1 多面體 由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜，稜與稜的公共點叫做頂點。旋轉體 把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。2 柱，錐，...
立體幾何知識點歸納總結
第一章空間幾何體 一 空間幾何體的結構特徵 1 多面體 由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜，稜與稜的公共點叫做頂點。旋轉體 把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉體的軸。2 柱，錐，...