第九章直線平面簡單的幾何體
1.平面的性質：
公理1 如果一條直線有兩個點在乙個平面內，那麼這條直線上所有點都在這個平面內。
a∈l,b∈l，a∈α,b
公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，而且這些點都在同一條直線上（兩平面相交，只有一條交線）。如圖△pab，△pcd所在平面有乙個公共點p，則把平面延展之後它們必定還有其他公共點，且在同一直線上。
p∈α∩β且p∈l
公理3 經過不在同一條直線上的三個點，有且只有乙個平面
推論1.經過一條直線和這條直線外一點，有且只有乙個平面
推論2.經過兩條相交直線，有且只有乙個平面。
推論3.經過兩條平行直線，有且只有乙個平面。
2.兩條直線的位置關係平行、相交、異面，其中平行、相交稱為共面直線
（1）異面的判斷方法定義：沒有公共點且不平行； 判斷定理：面的交線和麵內不過該交點的直線是異面直線。
（2）兩條直線垂直共面垂直，異面垂直，都叫兩直線垂直
（3）空間平行直線公理4 平行於同一直線的兩直線平行（即平行線的傳遞性）。
3.線面位置關係：
4.直線和平面平行： 直線和平面沒有公共點
（1） 判定定理（線線平行線面平行）
如果平面外的一條直線平行於平面內的一條直線，那麼麵外的直線平行於平面。
a∥m且，則。
(2) 性質定理 （線面平行線線平行）
如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。a∥α，aβ，α∩β=b，則a∥b.
5.兩個平面平行：兩個平面沒有公共點
（1）判定定理 （線面平行面面平行）
如果乙個平面內有兩條相交直線分別平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行。
推論如果乙個平面內有兩條相交直線分別平行於另乙個平面內的兩條直線，那麼這兩個平面平行。
垂直於同一條直線的兩個平面平行。m⊥α，m⊥β，則α∥β
（2）性質定理
（面面平行線線平行）兩個平行平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行；
（面面平行線面平行）兩個平面平行，其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面；
夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等；
如果兩個平行平面中的乙個和一條直線垂直，那麼另乙個也和這條直線垂直。直線稱為兩個平行平面的公垂線，它夾在兩個平面間的部分，叫做兩個平行平面的公垂線段，公垂線段的長叫做平行平面間的距離。
平行間的相互轉化關係： 線線平行線面平行面面平行
6.直線和平面垂直一條直線和乙個平面相交，且和這個平面內的任意一條直線都垂直，就稱為直線和平面垂直（常用於證明線線垂直，簡記為線面垂直線線垂直）
（1）判定定理（線線垂直線面垂直）如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。
（2）性質定理
過一點和已知平面垂直的直線只有一條；過一點和已知直線垂直的平面只有乙個（相互的唯一性）；
兩平行線中的一條垂直於乙個平面，另一條也垂直於這個平面。反之，兩條直線都垂直於同乙個平面，則它們一定平行；
直線和平面平行，那麼直線上各點到平面的距離相等。都叫做這條直線和這個平面的距離。
線段垂直平分面上的點到線段兩端點距離相等。
（3）射影過一點做平面的垂線，垂足叫做這點在這個平面內的射影。
直線和平面不垂直相交，直線稱為斜線，交點稱為斜足。
斜線在平面內的射影：過斜線上不同於斜足的任一點作面的垂線，垂足斜足連線稱為斜線在平面內的射影。
射影性質
斜線段相等，對應的射影也相等，較長的斜線段對應的射影也較長
射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長
垂線段比任何一條斜線段都短
（4）三垂線定理在平面內的一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直。反之，平面內的直線和斜線垂直，那麼它和斜線的射影垂直。
麵內的直線垂直斜線面內線垂直射影
po⊥α，aα則a⊥oaa⊥pa
7. 兩個平面垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的兩個平面垂直。
（1）判定定理 （線面垂直面面垂直）
乙個平面過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直
a⊥α，aβα⊥β
（2）性質定理 （面面垂直線面垂直）
兩個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線
垂直於另乙個平面。
α⊥β，α∩β=b ，aβ，a⊥ba⊥α
8.空間直角座標系
空間向量座標運算
（1）（2）
（3）（4）
由此得到向量夾角公式
（5）（6）
9.角（1）等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等（方向不同則互補）。
（2）最小角定理平面的斜線和它在平面內的射影所成角（即線面角）是這條斜線和這個平面內任一條直線所成角中最小的角。
三余弦公式cosθ=cosθ1·cosθ2，其中θ稱為斜線角即斜線和平面內任一直線所成角；θ1線面角，θ2是射線角即射影和麵內直線所成角。
（3）角的定義
異面直線所成角：已知兩條異面直線a，b，過空間中任一點o作所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角。
求異面直線角方法一種是平移法，找出角。題目中如果給出了中點，往往通過中位線來找出平行線。另一種是向量法，不必平移，利用公式cos< a,b>=求出的向量角或其補角就是異面直線所成角。
斜線和平面所成的角：平面的斜線和它在這個平面內的射影的夾角。
求線面角的方法：求法1，解由垂線斜線及其射影構成的直角三角形；求法2，三余弦公式cosθ=cosθ1·cosθ2；求法3，向量法：線面角=|﹣θ|，其中θ是斜向量和法向量所成角。
二面角從同一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫二面角。這條直線稱為二面角的稜，兩個半平面稱為二面角的面。
二面角的平面角以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個麵內分別作垂直於稜的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
求二面角大小的方法直接法：用定義或者三垂線定理作出二面角的平面角，解三角形；向量法，兩個面的法向量一進一出，則法向量角就是面面角；射影面積公式s′=s·cosθ法，其中s′是射影面積，s是原圖形面積。
法向量就是和平面垂直的向量，法向量有無數個。
法向量的求法：設出法向量座標，找到麵內的兩個相交向量，由法向量和它們的數量積為0即可取出乙個法向量。
(關於向量法求角問題，可參見另乙份專題資料，空間向量在立體幾何中的應用)
（4）角的範圍：
異面直線所成角範圍：0＜θ≤
兩直線所成角範圍： 0≤θ≤
線到線的角範圍： 0＜θ＜π
兩向量所成角範圍： 0≤θ≤π
斜線與平面所成角的範圍：0＜θ＜
直線與平面所成角的範圍：0≤θ≤
二面角的範圍: 0≤θ≤
10.距離
（1）點到平面的距離：點與它在平面上的射影間的距離叫做該點到這個平面的距離。
（2）直線到平面的距離，如果直線和平面平行，那麼直線上任一點到平面的距離叫做這條直線與平面的距離。
（3）平面到平面的距離，如果兩個平面平行，那麼它們的公垂線段的長度叫做這兩個平面的距離。
（4）兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離。
求線面距離、面面距離都可歸為求點面距離
（5）點麵距離求法
等體積法，利用錐體的體積公式求解
向量法，求出面的乙個法向量，點麵距離就是面的任何乙個斜向量在法向量方向上的射影長。如圖的角銳θ可能是斜向量和法向量所成角也可能是其補角，所以cosθ=|cos<,>|=
點p到面α的距離就是|po|
|po|=|ap|cosθ=|ap|·=
（6）異面直線間距離的向量求法為：設向量與兩異面直線a、b都垂直，m∈a，p∈b,則兩異面直線a、b間的距離d就是在向量方向的射影長。即d=
11.多面體、正多面體
由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體
把乙個多面體的任乙個面伸展成平面，如果其餘的面都位於這個平面的同一側，這樣的多面體叫做凸多面體。
每個面都是有相同邊數的正多邊形，每個頂點為端點都有相同稜數的凸多面體，叫做正多面體。
正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種
結論：正四面體abcd中，外接球的半徑oc，內切球半徑oh，則r外：r內=3：1
12.柱體及性質
（1）概念如果乙個多面體有兩個面互相平行，而其餘每相鄰
兩個面的交線互相平行，這樣的多面體叫做柱體。
側稜不垂直於底面的稜柱叫做斜稜柱，側稜垂直於底面的
稜柱叫直稜柱。底面是正多邊形的直稜柱叫做正稜柱。
（2）稜柱性質
稜柱的各個側面都是平行四邊形，所有側稜都相等。
直稜柱的各個側面都是矩形；正稜柱的各個側面都是
全等的矩形。
稜柱的兩個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形。
過稜柱不相鄰的兩條側稜的截面都是平行四邊形。
（3）平行六面體與長方體
底面是平行四邊形的四稜柱叫平行六面體。側稜與底面垂直的平行六面體叫做直平行六面體。底面是矩形的直平行六面體叫做長方體。稜長都相等的長方體叫做正方體。
性質長方體的一條對角線長的平方等於同乙個頂點上的三條稜長的平方和.
即 l2=a2+b2+c2
13.錐體及性質
（1）概念如果乙個多面體的乙個面是多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形，這樣的多面體叫做稜錐。
如果乙個稜錐的底面是正多邊形，並且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。
（2）稜錐的性質
如果稜錐被平行於底面的平面所截，那麼所得的截面與底面相似。截面與底面面積比等於頂點到截面距離與原稜錐高的平方比。截得的小稜錐與原稜錐體積比等於頂點到截面距離與原稜錐高的立方比（即面積比等於相似比的平方，體積比等於相似比的立方）。
（3）正稜錐的性質
正稜錐各側稜相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它們叫做正稜錐的斜高，如下圖的pe）；
正稜錐的高、斜高及斜高在底面內的射影組成乙個直角三角形，如rt△poe，正稜錐的高、側稜及側稜在底面內的射影也組成乙個直角三角形，如rt△poa。
14.球
（1）球的定義到定點距離等於或小於定長的點的集合，叫做球。
半圓繞著它的直徑旋轉一周所形成的曲面稱為球面，球面及其內部
稱為球。
（2）球的性質
用乙個平面截球，所得截面是乙個圓面
立體幾何知識點
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