1 空間直角座標系構建三策略
利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關鍵是依託圖形建立空間直角座標系，將其它向量用座標表示，通過向量運算，判定或證明空間元素的位置關係，以及空間角、空間距離問題的探求．所以如何建立空間直角座標系顯得非常重要，下面簡述空間建系的三種方法，希望同學們面對空間幾何問題能做到有的放矢，化解自如．
1．利用共頂點的互相垂直的三條稜
例1 已知直四稜柱中，aa1＝2，底面abcd是直角梯形，∠dab為直角，ab∥cd，ab＝4，ad＝2，dc＝1，試求異面直線bc1與dc所成角的余弦值．
解如圖以d為座標原點，分別以da，dc，dd1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系，
則d(0,0,0)，c1(0,1,2)，b(2,4,0)，c(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，
＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故異面直線bc1與dc所成角的余弦值為.
點評本例以直四稜柱為背景，求異面直線所成角．求解關鍵是從直四稜柱圖形中的共點的三條稜互相垂直關係處著眼，建立空間直角座標系，寫出有關點的座標和相關向量的座標，再求兩異面直線的方向向量的夾角即可．
2．利用線面垂直關係
例2 如圖，在三稜柱abc－a1b1c1中，ab⊥面bb1c1c，e為稜c1c的中點，已知ab＝，bb1＝2，bc＝1，∠bcc1＝.試建立合適的空間直角座標系，求出圖中所有點的座標．
解過b點作bp垂直bb1交c1c於p點，
因為ab⊥面bb1c1c，所以bp⊥面abb1a1，
以b為原點，分別以bp，bb1，ba所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角座標系．
因為ab＝，bb1＝2，bc＝1，∠bcc1＝，
所以cp＝，c1p＝，bp＝，則各點座標分別為b(0，0,0)，a(0,0，)，b1(0,2,0)，c(，－，0)，c1(，，0)，e(，，0)，a1(0,2，)．
點評空間直角座標系的建立，要盡量地使盡可能多的點落在座標軸上，這樣建成的座標系，既能迅速寫出各點的座標，又由於座標軸上的點的座標含有0，也為後續的運算帶來了方便．本題已知條件中的垂直關係「ab⊥面bb1c1c」，可作為建系的突破口．
3．利用面面垂直關係
例3 如圖1，等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab＝ad＝2，∠abc＝60°，e是bc的中點．將△abe沿ae折起，使平面bae⊥平面aec(如圖2)，連線bc，bd.求平面abe與平面bcd所成的銳角的大小．
解取ae中點m，連線bm，dm.
因為在等腰梯形abcd中，ad∥bc，ab＝ad，∠abc＝60°，e是bc的中點，
所以△abe與△ade都是等邊三角形，
所以bm⊥ae，dm⊥ae.
又平面bae⊥平面aec，所以bm⊥md.
以m為原點，分別以me，md，mb所在的直線為x，y，z軸，
建立空間直角座標系mxyz，如圖，
則e(1,0,0)，b(0,0，)，c(2，，0)，d(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
設平面bcd的法向量為m＝(x，y，z)，
由取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因平面abe的乙個法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面abe與平面bcd所成的銳角為45°.
點評本題求解關鍵是利用面面垂直關係，先證在兩平面內共點的三線垂直，再構建空間直角座標系，然後分別求出兩個平面的法向量，求出兩法向量夾角的余弦值，即可得所求的兩平面所成的銳角的大小．用法向量的夾角求二面角時應注意：平面的法向量有兩個相反的方向，取的方向不同求出來的角度就不同，所以最後還應該根據這個二面角的實際形態確定其大小．
2 用向量法研究「動態」立體幾何問題
「動態」立體幾何問題是在靜態幾何問題中滲透了一些「動態」的點、線、麵等元素，同時由於「動態」的存在，使得問題的處理趨於靈活．本文介紹巧解「動態」立體幾何問題的法寶——向量法，教你如何以靜制動．
1．求解、證明問題
例1 在稜長為a的正方體oabc—o1a1b1c1中，e、f分別是ab、bc上的動點，且ae＝bf，求證：a1f⊥c1e.
證明以o為座標原點建立如圖所示的空間直角座標系，
則a1(a,0，a)，c1(0，a，a)．
設ae＝bf＝x，
∴e(a，x,0)，f(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即a1f⊥c1e.
2．定位問題
例2 如圖，已知四邊形abcd，cdgf，adge均為正方形，且邊長為1，在dg上是否存在點m，使得直線mb與平面bef的夾角為45°？若存在，求出點m的位置；若不存在，請說明理由．
解題提示假設存在點m，設平面bef的法向量為n，設bm與平面bef所成的角為θ，利用sin θ＝解出t，若t滿足條件則存在．
解因為四邊形cdgf，adge均為正方形，
所以gd⊥da，gd⊥dc.
又da∩dc＝d，所以gd⊥平面abcd.
又da⊥dc，所以da，dg，dc兩兩互相垂直，如圖，以d為原點建立空間直角座標系，
則b(1,1,0)，e(1,0,1)，f(0,1,1)．
因為點m在dg上，假設存在點
m(0,0，t) (0≤t≤1)使得直線bm與平面bef的夾角為45°.
設平面bef的法向量為n＝(x，y，z)．
因為＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
則即令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)為平面bef的乙個法向量．
又＝(－1，－1，t)，直線bm與平面bef所成的角為45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.又0≤t≤1，
所以t＝3－4.
故在dg上存在點m(0,0,3－4)，且dm＝3－4時，直線mb與平面bef所成的角為45°.
點評由於立體幾何題中「動態」性的存在，使有些問題的結果變得不確定，這時我們要以不變應萬變，抓住問題的實質，引入參量，利用空間垂直關係及數量積將幾何問題代數化，達到以靜制動的效果．
3 向量與立體幾何中的數學思想
1．數形結合思想
向量方法是解決問題的一種重要方法，座標是研究向量問題的有效工具，利用空間向量的座標表示可以把向量問題轉化為代數運算，從而溝通了幾何與代數的聯絡，體現了數形結合的重要思想．向量具有數形兼備的特點，因此，它能將幾何中的「形」和代數中的「數」有機地結合在一起．
例1 如圖，在四稜柱abcd－a1b1c1d1中，a1a⊥底面abcd，∠bad＝90°，ad∥bc，且a1a＝ab＝ad＝2bc＝2，點e在稜ab上，平面a1ec與稜c1d1相交於點f.
(1)證明：a1f∥平面b1ce；
(2)若e是稜ab的中點，求二面角a1－ec－d的余弦值；
(3)求三稜錐b1－a1ef的體積的最大值．
(1)證明因為abcd－a1b1c1d1是稜柱，所以平面abcd∥平面a1b1c1d1.
又因為平面abcd∩平面a1ecf＝ec，平面a1b1c1d1∩平面a1ecf＝af，
所以a1f∥ec.又因為a1f平面b1ce，
ec平面b1ce，所以a1f∥平面b1ce.
(2)解因為aa1⊥底面abcd，⊥bad＝90°，
所以aa1，ab，ad兩兩垂直，以a為原點，以ab，ad，aa1分別為x軸、y軸和z軸，
如圖建立空間直角座標系．
則a1(0,0,2)，e(1,0,0)，c(2,1,0)，
所以＝(1,0，－2)，
＝(2,1，－2)．
設平面a1ecf的法向量為m＝(x，y，z)，
由·m＝0，·m＝0，
得令z＝1，得m＝(2，－2,1)．
又因為平面dec的法向量為n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝，
由圖可知，二面角aa1－ec－d的平面角為銳角，
所以二面角a1－ec－d的余弦值為.
(3)解過點f作fm⊥a1b1於點m，因為平面a1abb1⊥平面a1b1c1d1，
fm平面a1b1c1d1，
所以fm⊥平面a1abb1，所以
vb1－a1ef＝vf－b1a1e＝×s△a1b1e×fm
＝××fm＝fm.
因為當f與點d1重合時，fm取到最大值2(此時點e與點b重合)，
所以當f與點d1重合時，三稜錐b1－a1ef的體積的最大值為.
2．轉化與化歸思想
空間向量的座標及運算為解決立體幾何中的夾角、距離、垂直、平行等問題提供了工具，因此我們要善於把這些問題轉化為向量的夾角、模、垂直、平行等問題，利用向量方法解決．將幾何問題化歸為向量問題，然後利用向量的性質進行運算和論證，再將結果轉化為幾何問題．這種「從幾何到向量，再從向量到幾何」的思想方法，在本章尤為重要．
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