《空間向量與立體幾何》的教材分析以及教學建議
一、內容安排
本章是選修2-1的第3章，包括空間向量的基本概念和運算，以及用空間向量解決直線、平面的位置關係的問題等內容。通過本章的學習，要使學生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步培養學生的空間想象能力。
空間向量為處理例題幾何問題提供了新的視角，它是解決空間中圖形的位置關係和角度問題的非常有效的根據。本章以平面向量的學習委基礎，通過模擬的方法，引導學生經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，然後通過典型例題引導學生學習用向量方法處理空間幾何問題的基本思想方法。
二、主要特點
1、強調模擬、推廣、特殊化、化歸等思想方法，充分利用空間向量與平面向量之間的內在聯絡，通過模擬，引導學生自己將平面向量中的概念、運算以及處理問題的方法推廣到空間，既使相關的內容相互溝通，又使學生學習模擬、推廣、特殊化、化歸等思想方法，促使他們體會數學探索活動的基本規律，提高他們對向量的整體認識水平。空間向量的引進、運算、正交分解、座標表示、用空間向量表示空間中的幾何元素燈，都是通過與平面向量的模擬完成的。在空間向量運算中，還注意了與數的運算的對比。
另外，通過適當的例子，對解決空間幾何問題的三種方法，即向量方法、解析法、綜合法進行了比較，引導學生對各自的優勢以及面臨問題時應當如何做出選擇進行認識。
2、突出用空間向量解決立體幾何問題的基本思想。根據問題的特點，以適當的方式把問題中涉及的點、線、麵等元素用空間向量表示出來，建立起空間圖形與空間向量的聯絡；然後通過空間向量的運算，研究相應元素之間的關係（距離和夾角等問題）；最後對運算結果的幾何意義作出解釋，從而解決例題圖形的問題。
3、用恰時恰點的問題引導學生的數學思維。使用了大量的「**」、「思考」等，引導學生對相應的數學內容進行深入研討。例如，在對空間向量的各種運算和相應的平面向量的運算的異同比較與證明、空間向量的正交分解定理的推導及向空間向量基本定理的推廣、如何對各種幾何元素及其關係進行恰當的向量表示和座標表示、如何根據具體問題的需要選擇恰當的方法等，都用「**」、「思考」等方式提出問題，幫助學生形成積極主動的學習態度，轉變學生的學習方式。
三、背景分析
1、平面向量的知識背景
線性運算與數量積
應用：證明向量（直線）平行、垂直，求距離、角等
2、立體幾何背景
線面、麵麵等平行（垂直）的判定定理，但必修2中沒有證明（較難）
空間中的距離（點點距、點線距、點麵距等）、空間中的角（異面直線所稱的角、線面教、二面角）在必修2中只介紹了有關概念，以及很簡單的求解題。（可能是教材從整體上考慮，利用向量的優勢，降低難度，同時也也使學生的空間想象能力得不到很好的鍛鍊。）
四、地位和作用
用空間向量處理某些幾何問題，可以為學生提供新的視角，在空間特別是空間直角座標系中引入空間向量，可以為解決三維圖形的形狀、大小及位置關係的幾何問題增加一種理想的代數工具，從而提高學生的空間想象能力和學習效率。
向量知識的引進，使我們能用代數的觀點和方法解決立體幾何問題，用計算代替邏輯推理和空間想象，用數的規範性代替形的直觀性，具體、可操作性強，從而大大降低了立體幾何的求解難度。《普通高中數學課程標準》對例題幾何的定位主要作了三方面的調整：強調把握圖形能力的培養，強調空間想象與幾何直觀能力的培養，強調邏輯思維能力的培養。
英國著名數學家m.阿蒂亞說過：「幾何是數學中這樣乙個部分，其中視覺思維佔主導地位，而代數則是數學中有序思維佔主導地位的部分，這種區分也學用另外一對詞更好，即『洞察』與『嚴格』，兩者在真正的數學研究中起著本質的作用。
」內容展開方式：必修2中《立體幾何初步》的安排是橫向的：空間線線關係、空間線面關係、空間面面關係；選修2-1中《空間向量與立體幾何》的安排是縱向的：
直線的方向向量與平面的法向量、線面關係的判定、空間角的計算。
本章先講清直線的方向向量與平面的法向量兩個基本概念，然後從線面關係（線線、線面、麵麵的平行、垂直）的判定，空間角（異面直線所稱的角、線面教、二面角）的計算兩個方面研究空間向量在立體幾何中的應用，側重於應用向量解決立體幾何問題的思想方法，而不在於簡單地用空間向量把立體幾何的有關概念、性質和性質複述一遍。
四、本章的基本思想
本章突出了用空間向量解決立體幾何問題的基本思想。根據問題的特點，以適當的方式（例如構造基向量、建立空間直角座標系）用空間向量表示空間圖形中的點、線、麵等元素，建立空間圖形與空間向量的聯絡，然後通過空間向量的運算，研究相應元素之間的關係（平行、垂直、角和距離等），最後對運算結果的幾何意義作出解釋，從而解決立體幾何的問題。教材還通過例題，引導學生對解決例題幾何問題的三種方法（向量方法、解析法、綜合法）進行了比較，分析各自的優勢，因題而異作出適當的選擇，從而提高綜合運用數學知識解決問題的能力。
1、重點
空間向量的運算（線性運算、數量積）
幾何形式、座標形式
應用空間向量證明空間線、面的位置關係
應用空間向量求空間線、面距離、求角
2、難點
共面向量定理、空間向量基本定理
（1）共線向量定理、共面向量定理
用於證明空間直線、平面平行
（2）空間向量基本定理
用於引進向量的座標表示
（3）空間向量的數量積
用於研究距離、角的計算
（4）直線的方向向量與平面的法向量
研究線、面所成的角
五、教學建議
1、重視運用模擬的方法進行空間向量的教學
空間向量概念雖多，但它是平面向量在空間的推廣與拓寬，所涉及內容多數與平面向量相似。因此。在教法上，宜多用模擬法，在引導學生複習平面向量的相關知識的基礎上，通過模擬，經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。
找出空間向量與平面向量的聯絡與區別，由於任何兩個空間向量經平移可以共起點，則可以將兩個空間向量的加法轉化為平面向量的加法。勇士，空間首位相接的兩個向量也可採用三角形法則。在3個以上空間向量相加時，與平面向量不同，這些向量可能不共面，但仍可以通過平移逐個相加。
又如向量基本定理，對於平面向量，它的基底是不共線的三個非零向量。在學習過程中，必須注意維數增加所帶來的影響。
例：1）平面向量共線定理
模擬：空間向量共線？空間向量共面？
2）平面向量線性運算
模擬：平面向量線性運算？
3）平面向量基本定理
模擬：空間向量基本定理：
問題一：由二維模擬到三維，對於空間任意乙個向量，還可以用兩個不共線的向量線性表示嗎?
問題二：如果將平面向量基本定理推廣到空間，你認為該怎樣敘述這個命題？
問題三：模擬平面向量基本定理的證明方法，你能證明你的結論成立嗎？
2、重視**過程
線線、線面、面面平行、垂直的條件（用方向向量和法向量表示）
線面垂直的判定定理的證明思路的探索
3、引導學生歸納以向量方法解決立體幾何問題的規律
4、《普通高中數學課程標準》對《空間向量與立體幾何》內容的要求（約12課時）：
（1）空間向量及其運算
①經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。
②了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其座標表示。
③掌握空間向量的線性運算及其座標表示。
④掌握空間向量的數量積及其座標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直。
（2）空間向量的應用
①理解直線的方向向量與平面的法向量。
②能用向量語言表述線線、線面、麵麵的垂直、平行關係。
③能用向量方法證明有關線、面位置關係的一些定理（包括三垂線定理）（參見例1、例2、例3）。
④能用向量方法解決線線、線面、麵麵的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。
5、通過一定的訓練，使學生達到以下意識和習慣：
（1）凡能用向量解決的立體幾何問題盡可能用向量解決；
（2）在解題過程中必須寫出規範的格式和必要的步驟，例如建立空間直角座標系的表述、有關向量的座標表示等。
空間向量與立體幾何
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