空間向量與立體幾何複習指津
在引入空間向量後，許多空間問題（如空間角、空間距離等）的求解，已經從傳統的「作———證———算」轉化為，將所求問題表示為向量的閉迴路（課本稱為「封口向量」），然後利用數量積求解，即已從傳統意義上的幾何方法轉向以空間向量為媒介的代數運算．特別是法向量的應用，更是大大拓展了求解空間問題的思路！現對《空間向量與立體幾何》一章予以簡單梳理，供同學們複習參考．
一、空間向量的線性運算
1．空間向量的概念
空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長度（模）、共線向量等．
2．空間向量的加法、減法和數乘運算
平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用於空間向量的加（減）法運算．加法運算對於有限個向量求和，交換相加向量的順序其和不變．三個不共面的向量的和等於以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量．加法和數乘運算滿足運算律：
①交換律，即；②結合律，即；③分配律，即及（其中均為實數）．
3．空間向量的基本定理
（１）共線向量定理：對空間向量的充要條件是存在實數，使．
（２）共面向量定理：如果空間向量不共線，則向量c與向量共面的充要條件是，存在惟一的一對實數，使．
（３）空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那麼對空間任一向量p，存在有序實陣列x，y，z，使．其中是空間的乙個基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡述為：空間任一向量p都可以用乙個基底惟一線性表示（線性組合）．
4．兩個向量的數量積
兩個向量的數量積是，數量積有如下性質：
①（e為單位向量）；②；
③；④．
數量積運算滿足運算律：①交換律，即；②與數乘的結合律，即；③分配律，即．
二、空間向量的直角座標運算
1．空間直角座標系
若乙個基底的三個基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用表示；在空間選定一點o和乙個單位正交基底，可建立乙個空間直角座標系，作空間直角座標系時，一般使∠xoy=135°（或45°），∠yoz=90°；在空間直角座標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個座標係為右手直角座標系（立體幾何中建立的均為右手系）．
2．空間直角座標系中的座標運算
給定空間直角座標系o－xyz和向量a，存在惟一的有序實陣列使，則叫作向量a在空間的座標，記作．對空間任一點a，存在惟一的，點ａ的座標，記作分別叫ａ的橫座標、縱座標、豎座標．
3．空間向量的直角座標運算律
（1）若，則
，，，，．
（2）若，則．即乙個向量在直角座標系中的座標等於表示這個向量的有向線段的終點的座標減去起點的座標．
4．直線的方向向量與向量方程
（１）位置向量：已知向量a，在空間固定乙個基點o，作向量，則點a在空間的位置被所惟一確定，稱為位置向量．
（２）方向向量與向量方程：給定乙個定點ａ和乙個向量，再任給乙個實數t，以a為起點作向量，則此向量方程稱為動點p對應直線l的引數方程，向量a稱為直線l的方向向量．
三、直線、平面的法向量及向量在平面內的射影
如果表示向量a的有向線段所在直線垂直於平面，則稱這個向量垂直於平面（記作），向量a叫做平面的法向量．法向量有兩個相反的方向．法向量的具體應用方法，可以歸結為：
1．空間的線線、線面、面面垂直關係，都可以轉化為空間兩個向量的垂直問題來解決
（１）設a、b分別為直線的乙個方向向量，那麼；
（２）設a、b分別為平面的乙個法向量，那麼；
（３）設直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那麼．
2．空間圖形的平行關係包括直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來研究
（１）設a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那麼．
（２）直線與平面平行可轉化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來證明線面平行問題．
（３）平面與平面平行可轉化為兩個平面的法向量平行．高.考-資.源-網
3．在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等．關於角的計算，均可歸結為求兩個向量的夾角
空間角主要有：①線線角：異面直線所成角轉化為兩條直線所在向量的夾角；②線面角：直線ab與平面所成角為，其中是平面的法向量；③面面角：二面角的大小為或，其中是兩個半平面的法向量．
斜線與平面所成角是斜線和這個平面內所有直線所成角中最小的角（最小角定理）．與最小角定理聯絡密切的乙個重要公式是，要注意其應用！
4．立體幾何中涉及的距離問題較多，如點與線的距離，點、線與面的距離，兩異面直線的距離等，都是學習中的難點，若用向量來處理這類問題，則思路簡單，解法固定
可利用實現距離與向量之間的轉化．設e是直線l的乙個單位方向向量，線段ab在l上的投影是，則有，由此可求點到線，點到面的距離問題．
空間距離主要有：①點麵距：設n是平面的法向量，，則b到的距離為；②線線距：
設n是兩條異面直線的公垂線的向量，若a，b分別是在上的任意一點，則的距離為；③線面距、麵麵距．與前面求法相同．
對於不容易作出的空間距離（如線線距、點麵距等）、空間角（如線線角、無稜二面角等），利用法向量求解和傳統方法相比具有明顯的優勢．如證明直線和平面垂直的判定定理（本文例1），傳統方法是構造並多次利用平面幾何中的三角形全等，技巧性大、思想方法靈活（多次轉化），雖然典型但許多同學難以理解和熟練掌握，更不便於表述，而用向量法證明的篇幅大大縮短，容易理解記憶，方法簡捷！再如，證明垂直於同乙個平面的兩條直線平行（本文例2），使用空間向量則簡單明瞭，易於掌握．
例1 已知：m、n是平面內的兩條相交直線，直線l與的交點為o，且．
求證：．
證明：在平面內任作一條直線，因為不平行向量，由平面向量基本定理，存在唯一實數對（x，y），使，由知，即（l與內任意直線垂直），所以．
例2 已知：直線oa、bd都垂直於平面，垂足為o、b．求證：oa∥bd．
證明：以o為原點，在平面內作兩條互相垂直的直線分別為x、y軸，以射線oa為z軸，建立空間直角座標系，設，即，因為，則，即，可得，因此，又o、b為兩個不同的點，所以oa∥bd．
空間向量與立體幾何
一 平行與垂直問題 一 平行 線線平行 線面平行 面面平行 注意 這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。二 垂直 線線垂直 線面垂直 面面垂直 注意 畫出圖形理解結論 二 夾角與距離問題 一 夾角 二 距離 點 直線 平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點....
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