例題1. 已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，
試判斷：點與是否一定共面？
分析：要判斷點與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序實數對，使或對空間任一點，有。
解：由題意：，
∴，∴，即，
所以，點與共面．
點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當的充要條件形式，然後對照形式將已知條件進行轉化運算．
例題2. 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．求證：平面．
分析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內的兩個不共線的向量和線性表示．
證明：如圖，因為在上，且，所以．同理，又，所以
．又與不共線，根據共面向量定理，可知，，共面．由於不在平面內，所以平面．
點評：空間任意的兩向量都是共面的．
考點二證明空間線面平行與垂直
例題3. 如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，點d是ab的中點， （i）求證：ac⊥bc1； （）求證：ac 1//平面cdb1；
分析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：
一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.
解法一：（）直三稜柱abc－a1b1c1，底面三邊長ac=3，bc=4ab=5，
∴ ac⊥bc，且bc1在平面abc內的射影為bc，∴ ac⊥bc1；
（）設cb1與c1b的交點為e，鏈結de，∵ d是ab的中點，e是bc1的中點，∴ de//ac1，∵ de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ ac1//平面cdb1；
解法二：∵直三稜柱abc－a1b1c1底面三邊長ac＝3，bc＝4，ab＝5，∴ac、bc、c1c兩兩垂直，如圖，以c為座標原點，直線ca、cb、c1c分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系，則c（0,0，0），a（3,0，0），c1（0,0，4），b（0,4，0），b1（0,4，4），d（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴＝0，∴ac⊥bc1.
（2）設cb1與c1b的交戰為e，則e（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴de∥ac1.
點評：平行問題的轉化：
面面平行線面平行線線平行；
主要依據是有關定義及判定定理和性質定理．
例題4. （北京市東城區2023年綜合練習）如圖，在稜長為2的正方體的中點，p為bb1的中點.
（i）求證：；
（ii）求證；
（iii）求異面直線所成角的大小.
分析：本小題考查直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
解法一：（i）鏈結bc1
由正方體的性質得bc1是bd1在
平面bcc1b1內的射影
，所以(ii)又，
（iii）延長
由於正方體的稜長為2，
即異面直線所成角的大小為arccos.
解法二：（i）如圖建立空間直角座標系.
則b（2，2，0），c（0，2，0）
b1（2，2，2），d1（0，0，2）.
3分（ii），
（iii），
即異面直線所成角的大小為arccso
點評：證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直即可.這些從本題證法中都能十分明顯地體現出來
考點三求空間圖形中的角與距離
根據定義找出或作出所求的角與距離，然後通過解三角形等方法求值，注意「作、證、算」的有機統一.解題時注意各種角的範圍：異面直線所成角的範圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的範圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：
①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空間向量求這三種角的大小.
例題5. （河南省開封市2007屆高三年級第三次質量檢測）在長方體abcd—a1b1c1d1中，aa1=1，ad=dc=.
（1）求直線a1c與d1c1所成角的正切值；
（2）**段a1c上有一點q，且c1q=c1a1，求平面qdc與平面a1dc所成銳二面角的大小.
分析：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角採用平移法求二面角的大小也可應用面積射影法，向量法辦
解法一：（i）
為異面直線ac與d1c所成的角
連ad，在rt△adc中，cd=，ad=2，
（ii）過q作ef（在平面ac內）使ef//ab，
連b1c、cf、df，（面efcd即平面qdc；面a1b1cd即平面a1dc）
即為二面角a1—dc—q的平面角.
~.，即所求二面角大小為30°
解法二：（i）同解法一（i）
（ii）建立空間直角座標系，
即平面qdc與平面a1dc所成銳二面角為
點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.
例題6. （福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三稜柱的所有稜長都是，是稜的中點，是稜的中點，交於點
（1）求證：；
（2）求二面角的大小（用反三角函式表示）；
（3）求點到平面的距離。
分析：本題涉及立體幾何線面關係的有關知識, 本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中，要將這些量處於三角形中,最好是直角三角形,這樣有利於問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.
解答：（1）證明：建立如圖所示，
∵∴即ae⊥a1d， ae⊥bd ∴ae⊥面a1bd
（2）設面da1b的法向量為
由 ∴取
設面aa1b的法向量為
由圖可知二面角d—ba1—a為銳角，
∴它的大小為arcos
（3），平面a1bd的法向量取
則b1到平面a1bd的距離d=
點評：立體幾何的內容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內容,本題實質上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處於三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當,這樣座標才比較好寫出來.
考點四探索性問題
例題7. (2007安徽·文)如圖，在三稜錐中，，，是的中點，且，．
（i）求證：平面平面；
（ii）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．
解法1：（ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，
，又底面．．於是平面．
又平面，平面平面．
（ⅱ） 過點在平面內作於，則由（ⅰ）知平面．
連線，於是就是直線與平面所成的角．
依題意，所以
在中，；
在中，，．，．
故當時，直線與平面所成的角為．
解法2：（ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角座標系，則，
於是，，，．
從而，即．
同理，即．又，平面．
又平面．
平面平面．
（ⅱ）設平面的乙個法向量為，
則由．得
可取，又，
於是，即，．
故交時，直線與平面所成的角為．
解法3：（ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角座標系，則，，於是，，．
從而，即．
同理，即．
又，平面．
又平面，
平面平面．
（ⅱ）設平面的乙個法向量為，
則由，得
可取，又，
於是，即．
故交時，
即直線與平面所成角為．
考點五摺疊、展開問題
例題8．（2023年遼寧高考）已知正方形 、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為
() 證明平面;
()若為正三角形,試判斷點在平面內的射影是否在直線上,證明你的結論,並求角的余弦值
分析:充分發揮空間想像能力，抓住不變的位置和數量關係，借助模型圖形得出結論，並給出證明.
解析: ()證明:ef分別為正方形abcd得邊ab、cd的中點,
eb//fd,且eb=fd,
四邊形ebfd為平行四邊形
bf//ed.
,平面()如右圖,點a在平面bcde內的射影g在直線ef上,過點a作ag垂直於平面bcde,垂足為g,鏈結gc,gd
acd為正三角形, ac=ad.
cg=gd.
g在cd的垂直平分線上,點a在平面bcde內的射影g在直線ef上,
過g作gh垂直於ed於h,鏈結ah,則,所以為二面角a-de-c的平面角即.
設原正方體的邊長為2a,鏈結af,在折後圖的aef中,af=,ef=2ae=2a,即aef為直角三角形,.
在rtade中, .
,點評：在平面圖形翻摺成空間圖形的這類摺疊問題中，一般來說，位於同一平面內的幾何元素相對位置和數量關係不變：位於兩個不同平面內的元素，位置和數量關係要發生變化，翻摺問題常用的添輔助線的方法是作稜的垂線。
考點六球體與多面體的組合問題
例題9．設稜錐m—abcd的底面是正方形，且ma＝md，ma⊥ab，如果δamd的面積為1，試求能夠放入這個稜錐的最大球的半徑.
分析：關鍵是找出球心所在的三角形，求出內切圓半徑.
解： ∵ab⊥ad，ab⊥ma，
∴ab⊥平面mad，
由此，面mad⊥面ac.
記e是ad的中點，從而me⊥ad.
∴me⊥平面ac，me⊥ef.
設球o是與平面mad、平面ac、平面mbc都相切的球.
不妨設o∈平面mef，於是o是δmef的內心.
設球o的半徑為r，則r＝
設ad＝ef＝a,∵sδamd＝1.
∴me＝.mf＝,
r＝≤＝-1。
當且僅當a＝，即a＝時，等號成立.
∴當ad＝me＝時，滿足條件的球最大半徑為-1.
點評：涉及球與稜柱、稜錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關係。注意多邊形內切圓半徑與面積和周長間的關係；多面體內切球半徑與體積和表面積間的關係。
一、 方法總結
1．位置關係：
（1）兩條異面直線相互垂直
證明方法：證明兩條異面直線所成角為90；證明兩條異面直線的方向量相互垂直。
（2）直線和平面相互平行
證明方法：證明直線和這個平面內的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內的乙個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。
（3）直線和平面垂直
證明方法：證明直線和平面內兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個平面內不共線的兩個向量都垂直；證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。
空間向量與立體幾何
一 平行與垂直問題 一 平行 線線平行 線面平行 面面平行 注意 這裡的線線平行包括線線重合，線面平行包括直線在平面內，面面平行包括面面重合。二 垂直 線線垂直 線面垂直 面面垂直 注意 畫出圖形理解結論 二 夾角與距離問題 一 夾角 二 距離 點 直線 平面之間的距離有7種。點到平面的距離是重點....
空間向量解決立體幾何
1 空間直角座標系構建三策略 利用空間向量的方法解決立體幾何問題，關鍵是依託圖形建立空間直角座標系，將其它向量用座標表示，通過向量運算，判定或證明空間元素的位置關係，以及空間角 空間距離問題的探求 所以如何建立空間直角座標系顯得非常重要，下面簡述空間建系的三種方法，希望同學們面對空間幾何問題能做到有...
立體幾何和空間向量 1
一 選擇題 本大題共9小題 如圖在平行六面體abcd a1b1c1d1中m為ac與bd的交點若則下列向量中與相等的是 a b c d 已知則向量的夾角為 a b c d 若abc則 abc的形狀是 a 不等邊銳角三角形 b 直角三角形 c 鈍角三角形 d 等邊三角形 已知向量a 2 13 b 42x...