一、選擇題
1．(理)下圖是乙個空間幾何體的三檢視，根據圖中尺寸(單位：cm)，可知幾何體的表面積是( )
a．18b．16＋2
c．17＋2d．18＋2
[答案] d
[解析] 由三檢視可得，該幾何是乙個底面邊長為2高為3的正三稜柱，其表面積s＝3×2×3＋2××22＝18＋2cm2.
(文)已知一空間幾何體的三檢視如圖所示，它的表面積是( )
a．4b．2＋
c．3d．3
[答案] c
[解析] 由三檢視可知，該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三稜柱，底面直角三角形直角邊長和稜柱的高都是1，故表面積s＝2×＋2×(1×1)＋×1＝3＋.
2．文)乙個封閉正方體各面分別標有a、b、c、d、e、f六個字母，現放成三種位置如圖，則a、b、c對面字母分別為( )
a．d、e、fb．f、d、e
c．e、f、dd．e、d、f
[答案] b
[解析] 由圖(1)可知，a、b、c是交於同一頂點的三個面，故由圖(2)知，d的對面為b；由(3)知，a的對面為f，從而c的對邊為e，∴選b.
(理)水平放置的正方體的六個面分別用「前面、後面、上面、下面、左面、右面」表示，如圖是乙個正方體的表面展開圖，若圖中「2」在正方體的上面，則這個正方體的下面是( )
a．0b．8
c．奧d．運
[答案] b
[解析] 折起後，0和運，0和奧分別相對、2和8相對，∵2在上面，∴8在下面，另外兩個0，乙個在左面，乙個在後面，奧在右面，運在前面．
3．乙個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是乙個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是( )
ab．1＋
c．1d．2＋
[答案] d
[解析] 設直觀圖為o′a′b′c′，建立如圖所示的座標系，按照斜二測畫法的規則，在原來的平面圖形中oc⊥oa，且oc＝2，bc＝1，oa＝1＋2×＝1＋，故其面積為×(1＋1＋)×2＝2＋.(4．
(理)(2010·合肥市)已知某一幾何體的正(主)檢視與側(左)檢視如圖，則在下列圖形中，可以是該幾何體的俯檢視的圖形有( )
ab．②③④⑤
cd．①②③④
[答案] d
[解析] 底下一層為正四稜柱，上面兩層為圓柱時為①；底下為圓柱、上兩層為正四稜柱時為②；最上一層為圓柱、下兩層為正四稜柱時為③；底層為正四稜柱，中間為圓柱、上層為直三稜柱時為④，故選d.
(文)(2010·山東煙台)用一些稜長是1cm的小正方體碼放成乙個幾何體，(1)為其俯檢視，(2)為其正(主)檢視，則這個幾何體的體積最大是( )
a．6cm3b．7cm3
c．8cm3d．9cm3
[答案] b
[解析] 由俯檢視可知，該幾何體除左邊一列外，其它各列只一行，結合正(主)檢視知，前一行共5個，而左邊一列後一行至多2個，故最多有7個小正方體構成．
5．(2010·福建廈門市)乙個組合體的三檢視如圖，則其體積為( )
a．12b．16π
c．20d．28π
[答案] c
[解析] 由空間幾何體的三檢視可知，該幾何體為圓錐和圓柱的組合體，所以其體積為v＝π·22×4＋×π×22×3＝20π，故選c.
6．(2010·山東日照)如圖所示，乙個空間幾何體的正(主)檢視、側(左)檢視、俯檢視為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那麼這個幾何體的體積為( )
a．1b.
cd.[答案] b
[解析]幾何圖形的高是正(主)檢視的高，底面積為俯檢視的面積，由題知該幾何體是乙個三稜錐，底面是直角三角形，其兩直角邊長為1，故體積為v＝sh＝××1＝.故選b.
7．(文)(2010·瀋陽市)如圖所示，某幾何體的正(主)檢視與側(左)檢視都是邊長為1的正方形，且體積為.則該幾何體的俯檢視可以是( )
[答案] c
[解析] 由正(主)檢視和側(左)檢視可知，此幾何體為柱體，易知高h＝1，且體積v＝s×h＝(s為底面積)，得s＝，結合各選項知這個幾何體的底面可以是邊長為1的等腰直角三角形，故選c.
(理)(2010·北京理，3)乙個長方體去掉乙個小長方體，所得幾何體的正(主)檢視與側(左)檢視分別如右圖所示，則該幾何體的俯檢視為( )
[答案] c
[解析] 由正檢視和側檢視知，該長方體上面去掉的小長方體，從正前方看在觀察者左側，從左側向右看時在觀察者右側，故俯檢視為c.
8．(2010·東營質檢)三稜錐p－abc的四個頂點都在體積為的球的表面上，△abc所在的小圓面積為16π，則該三稜錐的高的最大值為( )
a．7b．7.5
c．8d．9
[答案] c
[解析] ∵△abc所在小圓面積為16π，
∴小圓半徑r＝o′a＝4，
又球體積為，∴＝，
∴球半徑r＝5，∴oo′＝3，
故三稜錐的高為po′＝r±oo′＝8或2，故選c.
二、填空題
9．(理)(2010·浙江寧波十校)取稜長為a的正方體的乙個頂點，過此頂點出發的三條稜的中點作截面，截去正方體的乙個角，對正方體的所有頂點都如此操作，則所剩下的多面體：①有12個頂點 ②有24條稜 ③表面積3a2 ④體積a3
以上結論正確的有________(填上正確的序號)．
答案] ①②④
[解析] 由操作方法可知，原正方體每條稜的中點都是剩下的幾何體的頂點，且除此之外別無頂點，故有12個頂點；原正方體每個面上4條稜的中點順次連線形成乙個正方形，該正方形為剩下多面體的乙個面，正方形的四條邊為多面體的稜，故剩下的多面體有24條稜，截去的每個角體積為×××＝，∴餘下多面體的體積為v＝a3－×8＝a3.而餘下多面體的表面積s＝6a2－3×××8＋8××2＝(3＋)a2，故填①②④.
(文)(2010·山東聊城聯考)乙個正方體表面展開圖中，五個正方形位置如圖陰影所示．第六個正方形在編號1到5的位置，則所有可能位置的編號是______．
[答案] ②③
[解析] 將表面展開圖還原為正方體知，②③正確．
[10．(文)(2010·青島模擬)若正三稜錐的主檢視與俯檢視如圖所示(單位：cm)，則它的左檢視的面積為________cm2.
[答案]
[解析] 由該正三稜錐的主檢視和俯檢視可知，其左檢視為乙個三角形，它的底邊長等於俯檢視的高即，高等於主檢視的高即，所以左檢視的面積為s＝××＝cm2.
(理)一多面體的三檢視如下圖所示，則其體積為________．
[答案]
[解析] 由三檢視可知，該幾何體是乙個四稜錐，底面是邊長為2的正方形abcd，乙個側面是邊長為2的正三角形pab，該側面與底面垂直，故其體積v＝×2×2×＝.其直觀圖如圖．
11．(2010·南京市調研)如圖，已知正三稜柱abc－a1b1c1的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質點自點a出發，沿著三稜柱的側面繞行兩周到達點a1的最短路線的長為________cm.
[答案] 13
[解析] 如圖，將三稜柱側面a1abb1置於桌面上，以a1a為界，滾動兩周(即將側面展開兩次)，則最**長為aa″1的長度，∴aa1＝5，aa″＝12，∴aa″1＝13.
12．(2010·山東聊城、鄒平模考)已知乙個幾何體的三檢視如圖所示(單位：cm)，其中正(主)檢視是直角梯形，側(左)檢視和俯檢視都是矩形，則這個幾何體的體積是________cm3.
[答案]
[解析] 依據三檢視知，該幾何體的上、下底面均為矩形，上底面是邊長為1的正方形，下底面是長為2，寬為1的矩形，左側面是與底面垂直的正方形，其直觀圖如圖所示，易知該幾何體是四稜柱abcd－a1b1c1d1，其體積v＝s梯形abcd·aa1＝×1＝cm3.
三、解答題
13．(2010·茂名模考)如圖，在直角梯形abcd中，∠b＝90°，dc∥ab，bc＝cd＝ab＝2，g為線段ab的中點，將△adg沿gd折起，使平面adg⊥平面bcdg，得到幾何體a－bcdg.
(1)若e，f分別為線段ac，ad的中點，求證：ef∥平面abg；
(2)求證：ag⊥平面bcdg；
(3)vc－abd的值．
[解析] (1)證明：依題意，摺疊前後cd、bg位置關係不改變，∴cd∥bg.
∵e、f分別為線段ac、bd的中點，∴在△acd中，ef∥cd，∴ef∥bg.
又ef平面abg，bg平面abg，∴ef∥平面abg.
(2)證明：將△adg沿gd折起後，ag、gd位置關係不改變，∴ag⊥gd，
又平面adg⊥平面bcdg，平面adg∩平面bcdg＝gd，ag平面agd，∴ag⊥平面bcdg.
(3)解：由已知得bc＝cd＝ag＝2，
又由(2)得ag⊥平面bcdg，即點a到平面bcdg的距離ag＝2，
∴vc－abd＝va－bcd＝s△bcd·ag
＝××2＝.
14．(文)(2010·深圳市調研)如圖，在長方體abcd－a1b1c1d1中，點e在稜cc1的延長線上，且cc1＝c1e＝bc＝ab＝1.
(1)求證：d1e∥平面acb1；
(2)求證：平面d1b1e⊥平面dcb1；
(3)求四面體d1b1ac的體積．
[解析] (1)連線bc1，則ad1綊bc1綊b1e，
∴四邊形ab1ed1是平行四邊形．
∴d1e∥ab1.
又ab1平面acb1，d1e平面acb1，
∴d1e∥平面acb1.
(2)由已知得b1c＝b1e＝，ce＝2，則b1c2＋b1e2＝4＝ce2.則b1e⊥b1c，
易知：cd⊥平面b1bce，
而b1e平面b1bce，則cd⊥b1e，
∴b1e⊥平面dcb1，又b1e平面d1b1e，
∴平面d1b1e⊥平面dcb1.
(3)由圖易知四面體d1b1ac的體積
＝2－×4＝.
(理)(2010·青島市質檢)如圖是某直三稜柱(側稜與底面垂直)被削去上底後的直觀圖與三檢視中的側(左)檢視、俯檢視，在直觀圖中，m是bd的中點，側(左)檢視是直角梯形，俯檢視是等腰直角三角形，有關資料如圖所示．
(1)求出該幾何體的體積；
(2)若n是bc的中點，求證：an∥平面cme；
(3)求證：平面bde⊥平面bcd.
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