專題二：立體幾何題型與方法（文科）
一、 考點回顧
1．平面
（1）平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
（2）證明點共線的問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據：由點**上，線在麵內 ，推出點在麵內）， 這樣，可根據公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。
（3）證明共點問題，一般是先證明兩條直線交於一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。
（4）證共面問題一般用落入法或重合法。
（5）經過不在同一條直線上的三點確定乙個面.
2. 空間直線.
（1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有乙個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內。
（2）異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何乙個平面內的兩條直線）
（3）平行公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行.
（4）等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成銳角（或直角）相等.
（5）兩異面直線的距離：公垂線的長度.
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
是異面直線，則過外一點p，過點p且與都平行平面有乙個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內. （l1或l2在這個做出的平面內不能叫l1與l2平行的平面）
3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.
（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.
（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行.（「線線平行，線面平行」）
（3）直線和平面平行性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行.（「線面平行，線線平行」）
（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和乙個平面垂直，過一點有且只有乙個平面和一條直線垂直.
● 若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），
得不出⊥. 因為⊥，但不垂直oa.
● 三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這兩條直線垂直於這個平面.（「線線垂直，線面垂直」）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面.
推論：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行.
（5）a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.
[注]：垂線在平面的射影為乙個點. [一條直線在平面內的射影是一條直線.（×）]
b.射影定理推論：如果乙個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那麼這點在平面內的射影在這個角的平分線上。
4. 平面平行與平面垂直.
（1）空間兩個平面的位置關係：相交、平行.
（2）平面平行判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，哪麼這兩個平面平行.（「線面平行，面面平行」）
推論：垂直於同一條直線的兩個平面互相平行；平行於同一平面的兩個平面平行.
[注]：一平面間的任一直線平行於另一平面.
（3）兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那麼它們交線平行.（「面面平行，線線平行」）
（4）兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
兩個平面垂直性質判定二：如果乙個平面與一條直線垂直，那麼經過這條直線的平面垂直於這個平面.（「線面垂直，面面垂直」）
（5）兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線也垂直於另乙個平面.
推論：如果兩個相交平面都垂直於第三平面，則它們交線垂直於第三平面.
5. 錐、稜柱.
（1）稜柱性質
稜柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側稜都相等；直稜柱的各個側面都是矩形；正稜柱的各個側面都是全等的矩形.
稜柱的兩個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.
過稜柱不相鄰的兩條側稜的截面都是平行四邊形.
注：稜柱有乙個側面和底面的一條邊垂直可推測是直稜柱. （×）
（直稜柱不能保證底面是巨形可如圖）
（直稜柱定義）稜柱有一條側稜和底面垂直.
（2）稜錐性質：
①正稜錐各側稜相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正稜錐的斜高）.
②正稜錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成乙個直角三角形，正稜錐的高、側稜、側稜在底面內的射影也組成乙個直角三角形.
（3）球：
a.球的截面是乙個圓面.
①球的表面積公式：.②球的體積公式：.
b.緯度、經度：
①緯度：地球上一點的緯度是指經過點的球半徑與赤道面所成的角的度數.
②經度：地球上兩點的經度差，是指分別經過這兩點的經線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數，特別地，當經過點的經線是本初子午線時，這個二面角的度數就是點的經度.
附：①圓柱體積：（為半徑，為高）
②圓錐體積：（為半徑，為高）
錐形體積：（為底面積，為高）
（1）內切球：當四面體為正四面體時，設邊長為a，，，，
得.注：球內切於四面體：。
外接球：球外置於正四面體，可如圖建立關係式.
6. 空間向量.
（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
（2）空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列x、y、z，使.
推論：設o、a、b、c是不共面的四點，則對空間任一點p, 都存在唯一的有序實陣列x、y、z使(這裡隱含x+y+z≠1).
注：設四面體abcd的三條稜，其
中q是△bcd的重心，則向量用即證.
對空間任一點o和不共線的三點a、b、c，滿足，
則四點p、a、b、c是共面
（3）空間向量的座標：空間直角座標系的x軸是橫軸（對應為橫座標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎座標）.
①令=(a1,a2,a3),，則
，， ，
∥ 。。
(用到常用的向量模與向量之間的轉化：
)空間兩個向量的夾角公式
（a＝，b＝）。
空間兩點的距離公式：.
７．知識網路
二、 經典例題剖析
考點一空間向量及其運算
例題1. 已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，
試判斷：點與是否一定共面？
分析：要判斷點與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序實數對，使或對空間任一點，有。
解：由題意：，
∴，∴，即，
所以，點與共面．
點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當的充要條件形式，然後對照形式將已知條件進行轉化運算．
例題2. 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．求證：平面．
分析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內的兩個不共線的向量和線性表示．
證明：如圖，因為在上，且，所以．同理，又，所以
．又與不共線，根據共面向量定理，可知，，共面．由於不在平面內，所以平面．
點評：空間任意的兩向量都是共面的．
考點二證明空間線面平行與垂直
例題3. 如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，點d是ab的中點， （i）求證：ac⊥bc1； （）求證：ac 1//平面cdb1；
分析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：
一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.
解法一：（）直三稜柱abc－a1b1c1，底面三邊長ac=3，bc=4ab=5，
∴ ac⊥bc，且bc1在平面abc內的射影為bc，∴ ac⊥bc1；
（）設cb1與c1b的交點為e，鏈結de，∵ d是ab的中點，e是bc1的中點，∴ de//ac1，∵ de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ ac1//平面cdb1；
解法二：∵直三稜柱abc－a1b1c1底面三邊長ac＝3，bc＝4，ab＝5，∴ac、bc、c1c兩兩垂直，如圖，以c為座標原點，直線ca、cb、c1c分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角座標系，則c（0,0，0），a（3,0，0），c1（0,0，4），b（0,4，0），b1（0,4，4），d（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴＝0，∴ac⊥bc1.
（2）設cb1與c1b的交戰為e，則e（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴de∥ac1.
點評：平行問題的轉化：
面面平行線面平行線線平行；
主要依據是有關定義及判定定理和性質定理．
例題4. （北京市東城區2023年綜合練習）如圖，在稜長為2的正方體的中點，p為bb1的中點.
（i）求證：；
（ii）求證；
（iii）求異面直線所成角的大小.
分析：本小題考查直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
解法一：（i）鏈結bc1
由正方體的性質得bc1是bd1在
平面bcc1b1內的射影
，所以(ii)又，
（iii）延長
由於正方體的稜長為2，
即異面直線所成角的大小為arccos.
解法二：（i）如圖建立空間直角座標系.
則b（2，2，0），c（0，2，0）
b1（2，2，2），d1（0，0，2）.
3分（ii），
（iii），
即異面直線所成角的大小為arccso
點評：證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直即可.這些從本題證法中都能十分明顯地體現出來
考點三求空間圖形中的角與距離
根據定義找出或作出所求的角與距離，然後通過解三角形等方法求值，注意「作、證、算」的有機統一.解題時注意各種角的範圍：異面直線所成角的範圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的範圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：
①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法另也可借助空間向量求這三種角的大小.
專題 立體幾何題型與方法
空間向量.1 a.共線向量 共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.2 空間向量基本定理 如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列x y z，使.推論 設o a b c是不共面的四點，則對空間任一點p,都存在唯一的有序實陣列x y z使 這裡隱含x ...
高考立體幾何經典題型
一 選擇題 1 理 下圖是乙個空間幾何體的三檢視，根據圖中尺寸 單位 cm 可知幾何體的表面積是 a 18b 16 2 c 17 2d 18 2 答案 d 解析 由三檢視可得，該幾何是乙個底面邊長為2高為3的正三稜柱，其表面積s 3 2 3 2 22 18 2cm2.文 已知一空間幾何體的三檢視如圖...
立體幾何題型與方法 理科
知識網路 考點二證明空間線面平行與垂直 3.如圖,在直三稜柱abc a1b1c1中，ac 3，bc 4，aa1 4，點d是ab的中點，i 求證 ac bc1 求證 ac 1 平面cdb1 4.2007武漢3月 如圖所示，四稜錐p abcd中，abad，cdad，pa底面abcd，pa ad cd 2...