一空間幾何體
（一） 幾種空間幾何體
1 、稜柱的結構特徵
1.1 稜柱的分類
稜柱四稜柱平行六面體直平行六面體長方體正四稜柱正方體
性質：ⅰ、側面都是平行四邊形，且各側稜互相平行且相等；
ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行；
ⅲ、平行於底面的截面和底面全等；
1.2稜柱的面積和體積公式
（是底周長，是高）
s直稜柱表面 = c·h+ 2s底
v稜柱 = s底 ·h
2 、稜錐
正稜錐側面積：（為底周長，為斜高）
體積：（為底面積，為高）
正四面體：
對於稜長為正四面體的問題可將它補成乙個邊長為的正方體問題。
對稜間的距離為（正方體的邊長）
正四面體的高（）
正四面體的體積為（）
四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）
3、圓柱的結構特徵
3.1 圓柱的側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。
3.2 圓柱的面積和體積公式
s圓柱側面 = 2π·r·h (r為底面半徑，h為圓柱的高)
s圓柱全 = 2π r h + 2π r2
v圓柱 = s底h = πr2h
4、圓錐的結構特徵
4.1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。
4.2 圓錐的結構特徵
（1） 平行於底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
（2）軸截面是等腰三角形；
（3）母線的平方等於底面半徑與高的平方和：
l2 = r2 + h2
4.3 圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。
5、圓台的結構特徵
s圓台側 = π·(r + r)·l (r、r為上下底面半徑)
s圓台全 = π·r2 + π·r2 + π·(r + r)·l
v圓台 = 1/3 (π r2 + π r2 + π r r) h (h為圓台的高)
6 球的結構特徵
6-1 球的結構特徵
（1） 球心與截面圓心的連線垂直於截面；
（2）截面半徑等於球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2 = r2 – d2
（3）注意圓與正方體的兩個關係：
球內接正方體，球直徑等於正方體對角線；
球外切正方體，球直徑等於正方體的邊長。
（二）空間幾何體的表面積與體積
1、空間幾何體的表面積
稜柱、稜錐的表面積：各個面面積之和
圓柱的表面積 ：
圓錐的表面積：
圓台的表面積：
球的表面積：
扇形的面積公式（其中表示弧長，表示半徑，表示弧度）
2、空間幾何體的體積
柱體的體積 ：
錐體的體積 ：
台體的體積 ：
球體的體積：
高考立體幾何求體積
16、如圖，在四稜錐中，平面pad⊥平面abcd，ab=ad，∠bad=60°，e、f分別是ap、ad的中點
求證：（1）直線ef‖平面pcd；
（2）平面bef⊥平面pad
（19）（本小題滿分13分）
如圖，為多面體，平面與平面垂直，點**段上，， ，△oab，△oac，△ode，△odf都是正三角形。
（ⅰ）證明直線；
（ⅱ）求稜錐的體積.
17．（本小題共14分）
如圖，在四面體pabc中，pc⊥ab，pa⊥bc,點d,e,f,g分別是稜ap,ac,bc,pb的中點.
（ⅰ）求證：de∥平面bcp
（ⅱ）求證：四邊形defg為矩形；
（ⅲ）是否存在點q，到四面體pabc六條稜的中點的距離相等？說明理由.
20．（本小題滿分12分）
如圖，四稜錐p-abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，點e**段ad上，且ce∥ab。
（i）求證：ce⊥平面pad；
（11）若pa=ab=1，ad=3，cd=，∠cda=45°，求四稜錐p-abcd的體積
（遼寧卷）
18．（本小題滿分12分）
如圖，四邊形abcd為正方形，qa⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=pd．
（i）證明：pq⊥平面dcq；
（ii）求稜錐q—abcd的的體積與稜錐p—dcq的體積的比值．
（全國卷）
20．（本小題滿分l2分）（注意：在試題卷上作答無效）
如圖，四稜錐中，,，側面為等邊三角形，
． （i）證明：平面sab；
（ii）求ab與平面sbc所成的角的大小。
19．（本小題滿分12分）
如圖，在四稜臺中，平面，底面是平行四邊形，，，60°
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）證明：．
6．（本小題滿分12分）
如圖，在△abc中，∠abc=45°，∠bac=90°，ad是bc上的高，沿ad把△abd折起，使∠bdc=90°。
（ⅰ）證明：平面ａｄｂ⊥平面ｂｄｃ；
（ⅱ）設bd=1，求三稜錐d—ａｂｃ的表面積。
立體幾何二面角
．如圖,ab是圓的直徑,pa垂直圓所在的平面,c是圓上的點.
()求證:
() ．如圖,在四面體中,平面,.是的中點, 是的中點,點**段上,且.
(1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小.
．如圖,在長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=2,ad=1,a1a=1,證明直線bc1平行於平面da1c,並求直線bc1到平面d1ac的距離.
．如圖1,在等腰直角三角形中, , ,分別是上的點, ,為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四稜錐,其中.
(ⅰ) 證明:平面; (ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.
．如圖, 四稜柱abcd-a1b1c1d1中, 側稜a1a⊥底面abcd, ab//dc, ab⊥ad, ad = cd = 1, aa1 = ab = 2, e為稜aa1的中點.
(ⅰ) 證明b1c1⊥ce; (ⅱ) 求二面角b1-ce-c1的正弦值.
(ⅲ) 設點m**段c1e上, 且直線am與平面add1a1所成角的正弦值為, 求線段am的長.
．如圖,三稜柱abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=a a1,∠ba a1=60°.(ⅰ)證明ab⊥a1c;
(ⅱ)若平面abc⊥平面aa1b1b,ab=cb=2,求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值.
．如圖, 四稜柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形, o為底面中心, a1o⊥平面abcd,. (ⅰ) 證明: a1c⊥平面bb1d1d;
(ⅱ) 求平面ocb1與平面bb1d1d的夾角的大小.
8如圖, , ,
連線並延長交於.(1) 求證:;
(2) 求平面與平面的夾角的余弦值.
9．如圖,在直三稜柱中, , , ,點是的中點
(1)求異面直線與所成角的余弦值
(2)求平面與所成二面角的正弦值.
10．如圖,四稜錐中,與都是等邊三角形.()證明求二面角的大小.
11．如圖所示,在三稜錐中,平面,, 分別是的中點, ,與交於點,與交於點,連線.(ⅰ)求證求二面角的余弦值.
12．如圖5,在直稜, ,.
13．如圖,直稜柱中,分別是的中點,.
(ⅰ)證明:平面; (ⅱ)求二面角的正弦值.
新課標近三年立體幾何高考題（解析版）
1、（2011.8．)在乙個幾何體的三檢視中，正檢視與俯檢視如右圖所示，則相應的側
檢視可以為（ ｄ ）
2、（2011.18．）（本小題滿分12分）
如圖，四稜錐中，底面abcd為平行四邊形，，，底面abcd．
（i）證明：；
（ii）設pd=ad=1，求稜錐d-pbc的高．
解：（ⅰ）因為， 由餘弦定理得
從而bd2+ad2= ab2，故bdad
又pd底面abcd，可得bdpd
所以bd平面pad. 故 pabd
（ⅱ）如圖，作depb，垂足為e。已知pd底面abcd，則pdbc。由（ⅰ）知bdad，又bc//ad，所以bcbd。
故bc平面pbd，bcde。
則de平面pbc。
由題設知，pd=1，則bd=，pb=2，
根據be·pb=pd·bd，得de=，
即稜錐d—pbc的高為
3、(2012.8)平面α截球o的球面所得圓的半徑為1，球心o到平面α的距離為，則此球的體積為 （ b ）
（a）π （b）4c）4π （d）6π
4、（2012.19）（本小題滿分12分）
如圖，三稜柱abc－a1b1c1中，側稜垂直底面，∠acb=90°，ac=bc=aa1，d是稜aa1的中點
(ｉ)證明：平面bdc1⊥平面bdc
（ⅱ）平面bdc1分此稜柱為兩部分，求這兩部分體積的比。
（ⅰ）由題設知bc⊥,bc⊥ac，,
∴面, 又∵面，
∴,由題設知,
∴=,即,
又∵, ∴⊥面,
∵面，∴面⊥面；
（ⅱ）設稜錐的體積為， =1，由題意得由三稜柱的體積=1，∴=1:1，
∴平面分此稜柱為兩部分體積之比為1:1.
5、(2013課標全國ⅰ，文11)某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為( d )．
a．16＋8
b．8＋8π
c．16＋16
d．8＋16π
6．(2013課標全國ⅰ，文15)已知h是球o的直徑ab上一點，ah∶hb＝1∶2，ab⊥平面α，h為垂足，α截球o所得截面的面積為π，則球o的表面積為．
7．(2013課標全國ⅰ，文19)(本小題滿分12分)如圖，三稜柱abc－a1b1c1中，ca＝cb，ab＝aa1，∠baa1＝60°.
(1)證明：ab⊥a1c；
(2)若ab＝cb＝2，a1c＝，求三稜柱abc－a1b1c1的體積．
立體幾何專題
1.在正三稜柱abc a1b1c1中，若ab 2，aa1 1，則點a到平面a1bc的距離為 2.正三稜錐p abc高為2，側稜與底面所成角為45 則點a到側面pbc的距離是 3.設甲 乙兩個圓柱的底面積分別為s1，s2，體積分別為v1，v2，若它們的側面積相等，且 則的值是 4.現有橡皮泥製作的底面...
2019高考數學立體幾何
1.2015高考安徽，理5 已知，是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是 a 若，垂直於同一平面，則與平行 b 若，平行於同一平面，則與平行 c 若，不平行，則在內不存在與平行的直線 d 若，不平行，則與不可能垂直於同一平面 4.2015高考陝西，理5 乙個幾何體的三檢視如圖所示，則該幾...
高考立體幾何
1 本小題滿分12分 在四稜錐v abcd中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形,平面vad 底面abcd 證明ab 平面vad 求面vad與面vdb所成的二面角的大小 證明 作ad的中點o，則vo 底面 abcd1分 建立如圖空間直角座標系，並設正方形邊長為12分 則a 0，0 b 1，0...