1．(本小題滿分12分)
在四稜錐v-abcd中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形,平面vad⊥底面abcd．
（ⅰ）證明ab⊥平面vad；
（ⅱ）求面vad與面vdb所成的二面角的大小．
證明：（ⅰ）作ad的中點o，則vo⊥底面
abcd1分
建立如圖空間直角座標系，並設正方形邊長為12分
則a（，0，0），b（，1，0），c（-，1，0），d（-，0，0），v（0，0，），
3分由4分
5分又ad∩**=a ∴ab⊥平面vad6分
（ⅱ）由（ⅰ）得是面vad的法向量7分
設是面vdb的法向量，則
……9分
11分又由題意知，面vad與面vdb所成的二面角是銳角，所以其大小為…………12
2. 如圖，在直四稜柱中，，為上使的點。平面交於，交的延長線於，求：
（ⅰ）異面直線與所成角的大小；
（ⅱ）二面角的正切值；
3. 如圖，在直三稜柱中，、分別為、的中點。
（i）證明：ed為異面直線與的公垂線；
（ii）設求二面角的大小。。
4. 如圖，在長方體中，分別是的中點，分別是的中點，
（ⅰ）求證：面；
（ⅱ）求二面角的大小。
證明：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角座標系，則
∵分別是的中點
∴（ⅰ）取，顯然面 ，
∴又面∴面∴過作，交於，取的中點，則
設，則又由，及在直線上，可得: 解得∴
∴ 即
∴與所夾的角等於二面角的大小
故：二面角的大小為
5.四稜錐中，底面abcd為平行四邊形，側面底面abcd，已知，，，．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）求直線sd與平面sbc所成角的大小
證明（ⅰ）作，垂足為，鏈結，由側面底面，得平面．因為，所以．
又，為等腰直角三角形，．
如圖，以為座標原點，為軸正向，建立直角座標系，
因為，，
又，所以，
，．，，
，，所以．
（ⅱ），.
與的夾角記為，與平面所成的角記為，因為為平面的法向量，所以與互餘．
，，所以，直線與平面所成的角為．
6. 如圖，在四稜錐中，
底面為正方形，側稜底面
分別為的中點．
（1）證明平面；
（2）設，求二面角的大小．
證明：（1）如圖，建立空間直角座標系．
設，則，
．取的中點，則．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨設，則．
中點又，，
所以向量和的夾角等於二面角的平面角．
．所以二面角的大小為．
7. 如圖，平面pcbm⊥平面abc,∠pcb=90°,pm∥bc,直線am與直線pc所成的角為60°，又ac=1,bc=2pm=2,∠acb=90°
(ⅰ)求證：ac⊥bm;
(ⅱ)求二面角m-ab-c的大小；
（ⅲ）求多面體pmabc的體積.
證明：（ⅰ）∵平面平面，，平面．
∴平面又∵平面
∴如圖以為原點建立空間直角座標系．
設，有，，．
， 由直線與直線所成的角為60°，得
即，解得．
∴， 設平面的乙個法向量為，則
由，取，得
取平面的乙個法向量為
則由圖知二面角為銳二面角，故二面角的大小為．
（ⅲ）多面體就是四稜錐
8. 如圖，正四稜柱abcd－a1b1c1d1中，aa1=2ab=4，點e在上且c1e=3ec.
(ⅰ)證明：a1c⊥平面bed；
(ⅱ)求二面角a1－de－b的大小。
9. 如圖，直三稜柱abc-a1b1c1中，ab⊥ac,d、e分別為aa1、b1c的中點，de⊥平面bcc1
（ⅰ）證明：ab=ac
（ⅱ）設二面角a-bd-c為60°,求b1c與平面bcd所成的角的大小
證明：（ⅰ）以a為座標原點，射線ab為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角座標系a—xyz。
設b（1，0，0），c（0，b，0），d（0，0，c），則（1，0，2c）,e（，，c）.
於是=（，，0），=（-1，b,0）.由de⊥平面知de⊥bc， =0，求得b=1，所以 ab=ac。
（ⅱ）設平面bcd的法向量則
又=（-1，1
0），=（-1，0，c）,故
令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角為60°知，=60°，
故 °，求得
於是 ，
， °
所以與平面所成的角為30°
10. 如圖，四稜錐中，底面為矩形，底面，，，點在側稜上，
（ⅰ）證明：是側稜的中點；
（ⅱ）求二面角的大小
證明：以d為座標原點，射線da為x軸正半軸，建立如圖所示的直角座標系d-xyz
設，則（ⅰ）設,則又故
即解得，即
所以m為側稜sc的中點
（ii）
由，得am的中點又所以
因此等於二面角的平面角
所以二面角的大小為
11. 如圖，正方形abcd所在平面與平面四邊形abef所在平面互相垂直，△abe是等腰直角三角形，ab=ae,fa=fe,∠aef=45
（ⅰ）求證：ef⊥平面bce；
（ⅱ）設線段cd、ae的中點分別為p、m，求證：pm∥平面bce；
（ⅲ）求二面角f-bd-a的大小.
證明：（ⅰ）因為△abe為等腰直角三角形，ab=ae，
所以ae⊥ab,
又因為平面abef⊥平面abcd，ae平面abef
平面abef平面abcd= ab
所以ae⊥平面abcd
所以ae⊥ad
因此，ad，ab，ae兩兩垂直，建立如圖所示的直角坐
標係.設ab=1，則ae=1，b（0，1，0），d（1，0，0），
e（0，0，1），c（1，1，0）
因為fa=fe，∠aef=,
所以∠aef=.
從而，f（0，，）.
.所以ef⊥be，ef⊥bc.
因為be平面bce，bc平面bce，bcbe=b，
所以ef⊥平面bce4分
（ⅱ）m（0，0，）.p（1, ,0）.
從而=（，）.
於是所以pm⊥fe，又ef⊥平面bce，直線pm不在平面bce內，
故pm∥平面bce8分
（ⅲ）設平面bdf的乙個法向量為，並設=（x，y，z）
=(1， 1，0)，
即去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）
取平面abd的乙個法向量為=（0，0，1）
故二面角f-bd-a的大小為12分
12. 如題（18）圖，在五面體中，∥，，，四邊形為平行四邊形，平面，．求：
（ⅰ）直線到平面的距離；
（ⅱ）二面角的平面角的正切值．
證明：（ⅰ）如圖以a點為座標原點,的方向為的正方向建立空間直角座標係數,則a(0,0,0) c(2,2,0) d(0,2,0)
設可得,由.即,解得 ∥，
面,所以直線ab到面的距離等於點a到面的距離。設a點在平面上的射影點為,
則 因此且,即解得
而, ①
知g點在面上,故g點在fd上.
,故有 ②
聯立①,②解得,
為直線ab到面的距離. 而所以
（ⅱ）因四邊形為平行四邊形,則可設, .由
得,解得.即.故
由,因, ,故為二面角的平面角，又, , ,所以
12. 如圖，四稜錐s-abcd中，sd底面abcd，ab//dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e為稜sb上的一點，平面edc平面sbc .
（ⅰ）證明：se=2eb；
（ⅱ）求二面角a-de-c的大小 .
證明：13. 如圖，直三稜柱abc-a1b1c1中，ac＝bc，aa1=ab，d為bb1的中點，e為ab1上的一點，ae=3eb1.
（ⅰ）證明：de為異面直線ab1與cd的公垂線；
（ⅱ）設異面直線ab1與cd的夾角為45o,求二面角a1-ac1-b1的大小.
證明：（ⅰ）以b為座標原點，射線ba為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角座標系.
設ab=2，則a（2,0,0,），，d（0,1,0），，
又設c（1,0,c）,則.
於是.故,
所以de為異面直線與cd的公垂線.
（ⅱ）因為等於異面直線與cd的夾角，
故 ，
即 ，
解得 ，故，
又，所以，
設平面的法向量為，則即
令，則，故
令平面的法向量為
則，即令，則，故
所以.由於等於二面角的平面角，
所以二面角的大小為.
14. 如圖，四稜錐s-abcd中，sd底面abcd，ab//dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e為稜sb上的一點，平面edc平面sbc .
（ⅰ）證明：se=2eb；
（ⅱ）求二面角a-de-c的大小 .
15. 已知正方體中，點m是稜的中點，點是對角線的中點，
（ⅰ）求證：om為異面直線與的公垂線；
（ⅱ）求二面角的大小；
證明：以點d為座標原點，建立如圖所示的空間座標系，設,則, ,.
(ⅰ)因為點m是稜的中點，點是
的中點。∴, ,
∴,又∵與異面直線和都相交，
故為異面直線和的公垂線。
5分）（ⅱ）設平面的法向量為，
∴ ,即，取，則，從而。
取平面的乙個法向量為，。
由圖可知二面角的平面角為銳角，
故二面角的大小為12分）
16. 如圖，已知四稜錐的底面為等腰梯形，∥, ,垂足為，是四稜錐的高。
（ⅰ）證明：平面平面;
（ⅱ）若,60°,求四稜錐的體積。
證明：17. 如題（20）圖，四稜錐中，底面為矩形，底面，，點是稜的中點.
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.
以a為座標原點，射線ab、ad、ap分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角座標系a—xyz.
設d（0，a，0），則.於是
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