立體幾何總結
一、 角度
空間兩個向量的夾角公式
法向量(平面)：若向量所在直線垂直於平面，則稱這個向量垂直於平面，記作，如果那麼向量叫做平面的法向量.
線與線的夾角：
直線與平面的夾角：直線與平面所成角(為平面的法向量).
平面與平面的夾角(二面角)：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.
二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.
特殊情況
垂直平行
例1、如圖，在四稜錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點
（ⅰ）證明：直線；
（ⅱ）求異面直線ab與md所成角的大小；
（ⅲ）求平面boc平面doc所成角的大小；（做）
解：作於點p,如圖,分別以ab,ap,ao所在直線為軸建立座標系
(1)設平面ocd的法向量為,則
即取,解得
(2)設與所成的角為,
,與所成角的大小為
二．距離：
求距離的重點在點到平面的距離和異面直線間的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離均可以轉化成點到平面的距離。
向量乘法（意義）
空間兩點的距離公式：.
點到面的距離：
設n是平面的法向量，ab是平面的一條射線，其中，則點b到平面的距離為.
點到平面的距離（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.2、等體積法。
異面直線間的距離：
公垂線：與兩直線都垂直的直線。 公垂向量：公垂線所在的向量。
異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
例2．已知正四稜柱,點為的中點，
點為的中點，
（1）證明:為異面直線的公垂線；
（2）求點到平面的距離．
(3 ) 求直線到平面bef的距離。（做）
解：（1）以分別為軸建立座標系，
則，，，，
，，，∴，
∴為異面直線的公垂線．
（2）設是平面的法向量，∵，
∴，，，點到平面的距離．
三、位置關係
根據共線向量定理證點共線
欲證點共線,通常先構造共始點的向量,再根據共線向量定理證明.
例3 ,長方體abcd - a1b1c1d1中,m 為dd1 的中點, n 在ac上,且an ∶nc = 2 ∶1, e為bm 的中點,求證:a1、
根據相等向量證線共點
欲證線共點, 可先在某線上找出一定點,再證其餘各線都過這一定點.
例4根據共面向量定理證線(或點) 共面
空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列x、y、z，使.
推論：設o、a、b、c是不共面的四點，則對空間任一點p, 都存在唯一的有序實陣列x、y、z使 (這裡隱含x+y+z≠1).
四、空間幾何體
1、空間幾何體的側面積、表面積
2、空間幾何體的體積
3．尤拉定理（尤拉公式）：簡單多面體的頂點數、面數及稜數有關係式：
例5、乙個正面體共有8個頂點，每個頂點處共有三條稜，求
解：∵，，
∴，∴．
練習： 1．已知斜三稜柱中，，
，點是與的交點，
（1）用基向量表示向量；（2）求異面直線與所成的角；
（3）判定平面與平面所成的角．
2 、已知空間四邊形oabc中，，．求證：．
3.如圖，在稜錐中，側面是邊長為2的正三角形，
且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點，
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求二面角的大小
（ⅲ）求證：平面平面．
() 求稜錐m-abcd的體積。
4．在直三稜柱中，底面是等腰直角三角形，，側稜，
分別是，與的中點，點在平面上的射影是的重心，（1）
求與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離．
5.乙個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點數v和面數f有下面的關係：f＝2v－4
6 正四面體abcd的稜長為a，球o是內切球，球o1是與正四面體的三個面和球o都相切的乙個小球，求球o1的體積．
分析：正四面體的內切球與各面的切點是面的中心，球心到各面的距離相等．
高考立體幾何
1 本小題滿分12分 在四稜錐v abcd中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形,平面vad 底面abcd 證明ab 平面vad 求面vad與面vdb所成的二面角的大小 證明 作ad的中點o，則vo 底面 abcd1分 建立如圖空間直角座標系，並設正方形邊長為12分 則a 0，0 b 1，0...
立體幾何小結 複習
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例1 如圖，s是平行四邊形abcd平面外一點，m，n分別是sa，bd上的點，且am sm bn nd,求mn 平面sbc 例2 已知e，f分別是正方形abcd邊ad，ab的中點，ef交ac於m，gc垂直於abcd所在平面 1 求證 ef 平面gmc 2 若ab 4，gc 2，求點b到平面efg的距離...