一、二次函式的定義
一般地，如果y=ax +bx+c（a、b、c是常數，a≠0），那麼y叫做x二次函式。
注：二次函式y=a x +bx+c的結構特徵：等號左邊是函式，右邊是關於自變數x的二次式，的最高次數是2；二次項係數a≠0。
二、二次函式的圖象及畫法
1、二次函式y=ax +bx+c（a≠0）的圖象是以為頂點，以直線x=為對稱軸的拋物線。
2、用描點法畫二次函式的步驟。
(1)用配方法化成的形式；
(2)確定圖象的開口方向，對稱軸及頂點座標；
(3)在對稱軸的兩側用對稱性描點畫圖。
注：(1) 的大小決定拋物線的開口大小。越大，開口越小；越小，開口越大。
(2) a、b的符號決定拋物線的對稱軸的位置。當b=0時，對稱軸為軸；當ab﹥0時，對稱軸在y軸左側（簡稱：左同）；ab﹤0，對稱軸在y軸的右側（簡稱：右異）。
(3) c的大小決定拋物線與y軸的交點位置：c=0時，拋物線過原點；c＞0時，拋物線與y軸交於正半軸；c＜0時，拋物線與y軸交於負半軸。
(4)的大小決定拋物線與x軸的交點個數：＞0時，拋物線與x軸有兩個交點；=0時，拋物線與x軸有乙個交點；＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
(5) 畫拋物線的草圖，要確定：開口方向、對稱軸、頂點、與x軸交點、與y軸交點。
三、二次函式的性質
四、圖象的平移
規律：對自變數x來說，向右平移用「－」，向左平移用「+」；
對自變數y來說，向上平移用「－」，向下平移用「+」；
例：將拋物線向右平移2個單位，再鄉下平移3個單位得到的拋物線的解析式為，即。
注：該方法對其它函式圖象的平移也適合。
五、頂點座標的求法
1、配方法：即將y=ax +bx+c化成形式，得到頂點座標為（h，k）。
2、公式法：將a、b、c的值代入，中，得頂點座標為。
3、代入法：先求出的值，再代入y=ax +bx+c中，求出y，得頂點座標為（x，y）。
例：求拋物線的頂點p座標
六、頂點的位置
1、頂點在x 軸上的條件為=0
例：頂點在x軸上，求c。
2、頂點在y軸上的條件為b=0。
例：頂點在y軸上，求m。
3、頂點在原點的條件為b=c=0。
4、頂點在各象限內的條件為△≠0，b≠0。
七、解析式的求法。
1、三點型
解析式設為：y=ax +bx+c （a≠0），適用於拋物線過三個已知點時。
2、頂點型
解析式設為a≠0），適用於已知拋物線的頂點時。
3、交點型
解析式設為：（a≠0），適用於已知拋物線與x軸交點座標時。
例：拋物線經過a（-1，0）、b（3，0）、c（1，-8），求該拋物線的解析式。
課堂練習
一、選擇題
1、拋物線y=3(x-1)+1的頂點座標是（ ）
a．（1，1） b．（-1，1） c．（-1，-1） d．（1，-1）
2、二次函式的影象與x軸交點的橫座標是（ ）
a. -2和-3 b.-2和3 c. 2和3 d. 2和-3
3、拋物線的一部分如圖1所示，該拋物線在
軸右側部分與軸交點的座標是（ ）
a、（，0） b、（1，0） c、（2，0） d、（3，0）
4、（長沙市）把拋物線向上平移個單位，得到的拋物線是（ ）
a． b． c． d．
5、若拋物線與軸的交點為，則下列說法不正確的是（ ）
a．拋物線開口向上b．拋物線的對稱軸是
c．當時，的最大值為 d．拋物線與軸的交點為
6、拋物線的部分圖象如圖2所示，若，則的取值範圍是（ ）
a. b. c.或 d.或
7、（常州市）若二次函式（為常數）的圖象如下（圖3），則的值為（ ）
a． b． c． d．
8、乙個運動員打爾夫球，若球的飛行高度與水平距離之間的函式表示式為，則高爾夫球在飛行過程中的最大高度為（ ）
a．10mb．20m c．30m d．60m
9、小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一部分(如圖4)，若命中籃圈中心，則他與籃底的距離是（ ）
a、3.5m b、4m c、4.5m d、4.6m
二、填空題
10、拋物線y＝2x2+4x+5的對稱軸是x
11、二次函式的最小值是
12、已知拋物線的頂點座標為(－1，4)，且其圖象與x軸交於點(－2，0)，拋物線的解析式為
13、已知二次函式的對稱軸和x軸相交於點（）則m的值為_______．
14、請寫出乙個開口向下，對稱軸為直線x=2，且與y軸的交點座標為(0，3)的拋物線的解析式
15、二次函式y＝x2＋bx＋c的圖象經過點a(－1，0)、b(3，0)兩點．其頂點座標是
16、（甘肅省蘭州市）拋物線y＝ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如圖所示，那麼該拋物線在y軸右側與x軸交點的座標是
17、（甘肅省蘭州市）將拋物線y＝2x2先沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸
方向向下平移3個單位，所得拋物線的解析式是
18、（佛山市）已知二次函式（是常數），與的部分對應值如下表，則當滿足的條件是時，；當滿足的條件是時，．
三、解答題
19、二次函式的圖象如圖9所示，根據圖象解答下列問題：
（1）寫出方程的兩個根．
（2）寫出不等式的解集．
（3）寫出隨的增大而減小的自變數的取值範圍．
（4）若方程有兩個不相等的實數根，求的取值範圍．
20、（1）把二次函式代成的形式．
（2）寫出拋物線的頂點座標和對稱軸，並說明該拋物線是由哪一條形如的拋物線經過怎樣的變換得到的？
（3）如果拋物線中，的取值範圍是，請畫出圖象，並試著給該拋物線編乙個具有實際意義的情境（如噴水、擲物、投籃等）．
21、某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高於55元，市場調查發現，若每箱以50元的**調查，平均每天銷售90箱，**每提高1元，平均每天少銷售3箱．
（1）求平均每天銷售量（箱）與銷售價（元/箱）之間的函式關係式．
（2）求該批發商平均每天的銷售利潤（元）與銷售價（元/箱）之間的函式關係式．
（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？
22、如圖，足球場上守門員在處開出一高球，球從離地面1公尺的處飛出（在軸上），運動員乙在距點6公尺的處發現球在自己頭的正上方達到最高點，距地面約4公尺高，球落地後又一次彈起．據實驗，足球在草坪上彈起後的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．
（1）求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表示式．
（2）足球第一次落地點距守門員多少公尺？（取）
（3）運動員乙要搶到第二個落點，他應再向前跑多少公尺？（取）
23、（安徽省）按右圖所示的流程，輸入乙個資料x，根據y與x的關係式就輸出乙個資料y，這樣可以將一組資料變換成另一組新的資料，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的資料，變換成一組新資料後能滿足下列兩個要求：
（ⅰ）新資料都在60～100（含60和100）之間；
（ⅱ）新資料之間的大小關係與原資料之間的大小關係一致，即原資料大的對應的新資料也較大。
（1）若y與x的關係是y＝x＋p(100－x)，請說明：當p＝時，這種變換滿足上述兩個要求；
（2）若按關係式y=a(x－h)2＋k (a>0)將資料進行變換，請寫出乙個滿足上述要求的這種關係式。（不要求對關係式符合題意作說明，但要寫出關係式得出的主要過程）
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