基礎盤點
一、二次函式的概念
一般地, 形如是常數,)的函式, 叫做二次函式. 其中,是 ,，，分別是函式解析式的係數、 係數和 .
二、二次函式的圖象
二次函式的圖象是一條 , 其頂點座標為 . 當＞時, 圖象開口 ; 當＜時, 圖象開口 .
三、二次函式的性質
1.對稱性: 其圖象是軸對稱圖形, 對稱軸是直線 ;
2.增減性:若＞, 當＜時,值隨值的增大而 ; 當＞時,值隨值的增大而 ; 函式有最值 ；若＜, 當＜時,值隨值的增大而 ; 當＞時,值隨值的增大而 ; 函式有最值 .
四、二次函式與一元二次方程的關係
在二次函式的解析式中, 當函式值一定時, 二次函式就變成了
考點呈現
一、二次函式的圖象
例1 把拋物線y=-x2向左平移1個單位，然後向上平移3個單位，則平移後拋物線的表示式為（ ）
a． b． c． d．
解析：因為拋物線y=-x2的頂點座標為（0，0），所以平移後的拋物線的頂點為（-1，3），因此，平移後的拋物線為.故選d.
二、二次函式解析式中的係數與圖象的關係
例2. (2023年湖北天門)已知二次函式的圖象如圖1所示, 它與軸的兩個交點分別為、. 對於下列結論其中正確的有
a.3個 b.2個 c.1個 d.0個
解析: 由題意知, 且＞.
，故不正確;
＞, 故也不正確;
＜,故正確;
＞. 故正確.
綜上所述， 選b.
評注: 本題考查二次函式解析式中係數與圖象的關係, 解決這尖問題的關鍵在於充分獲取圖象資訊, 正確運用相關的知識進行解答.
三、二次函式的性質
例3 (2023年浙江衢州)已知二次函式, 若自變數分別取，，, 且＜＜＜, 則對應的函式值，，的大小關係正確的是
abcd.＜＜
解析:.
∵＜, 且對稱軸為直線,
∴當時,值隨值的增大而減小,
∴當＜＜＜時,＞＞.
故選a.
評注: 本題考查了二次函式的增減性. 解決這類問題, 先將二次函式的表示式化為頂點式, 明確開口方向.
開口向上時, 在對稱軸的左側, 函式值隨自變數的值增大而減小, 在對稱軸的右側, 函式值隨自變數的增大而增大; 開口向下時, 在對稱軸的左邊, 函式值隨自變數的值增大而增大, 在對稱軸的右側, 函式值隨自變數的增大而減小.
四、拋物線的平移
例4 (2023年山東泰安) 將拋物線向上平移3個單位, 再向左平移2個單位, 那麼得到的拋物線的解析式為
a. b.
b. c. d.
解析: 平移前拋物線的頂點座標為, 平移後拋物線的頂點座標為，
所以平移後拋物線的解析為.
故選b.
評注: 拋物線的平移, 形狀和大小都不變, 即解析式中的不變.已知一條拋物線, 求這條拋物線按要求平移後的解析式, 一般是找出原拋物線的頂點座標, 寫出按要求平移後的頂點座標, 進而求出解析式.
五、二次函式綜合應用
例5 (2023年貴州黔東南)如圖2, 已知拋物線經過點a、b、c三點.
求拋物線的解析式;
點m是線段bc上的點(不與b，c重合), 過點m作mn∥軸交拋物線於n, 若點m的橫向座標為,請用的代數式表示mn的長.
在的條件下, 連線nb，nc, 是否存在點,使△bnc的面積最大? 若存在, 求的值; 若不存在, 說明理由.
解:設拋物線的解析式為, 根據題意, 得
, 解得.
∴所求拋物線的解析式為.
設直線bc的解析式為, 則有解得
∴直線bc的解析為.
令, 則,
∴m.∵點n在拋物線上,且其橫座標為,
∴n.∴mn=.
設△bnc的面積為, 則=..
∵＜,有最大值,
∴當時, △bnc的面積最大.
評注: 本題綜合考查了函式解析式的求法、函式與方程的關係、二次函式的性質等, 應靈活運用所學的知識進行解決.
誤區點撥
一、 概念不清致錯
例1 若是二次函式, 則
a.或 b. c.或 d.
錯解: c.
剖析: 錯誤產生的原因在於忽略了二次函式關係式中的二次項係數.
正解: d.
二、 對性質理解不准致錯
例2 .已知點a、b在二次函式的圖象上,若＞＞, 則
.錯解: ＞.
剖析: 二次函式的增減性與其開口有關, 錯誤的原因是沒有準確掌握和理解二次函式的性質.
正解: ＜.
三、不全面討論致錯
例3 已知拋物線與軸交於點a、b, 與軸交於點c, 則使△abc為等腰三角形的拋物線的條數為
a.2 b.3 c.4 d.5
錯解: a或b或d.
剖析: 錯誤的原因在於沒有正確分類討論,.
正解: 如圖, 易知拋物線與過點a和c.
以點a為圓心、ac長為半徑畫圓交軸於點，； 以點c為圓心、ac長為半徑畫圓交軸於點； 作線段ac的垂直平分線交軸於點.
過這四個點其中的任何乙個與a，c兩點都有一條滿足條件的拋物線.
故選c.
跟蹤訓練
1. 如圖為二次函式()的圖象, 則下列說法: ＞; ; ＞;當＜＜時,＞. 其中正確的個數為( ).
a.1 b.2 c.3 d.4
2. 如圖, 已知拋物線, 直線, 當任取一值,對應的函式值分別為，. 若, 取，中的較小值為m; 若, 記m=. 例如, 當時, , ,＜, 此時m=0. 有下列判斷:
當＞時,＞;
當＜時,值越大, m值越小;
使得m大於2的值不存在;
使得m=1的的值是或.
其中正確的是
abcd.
3.給出定義: 設一條直線與拋物線只有乙個公共點, 且這條直線與拋物線的對稱軸不平行, 就稱直線與拋物線相切, 這條直線是拋物線的切線. 有下列命題:
直線是拋物線的切線;
直線與拋物線相切於點;
若直線與拋物線相切, 則相切於;
若直線與拋物線相切, 則實數.
其中正確的是
abcd.
4. 已知下列函式其中, 圖象通過平移得到函式的圖象的有 (填寫所有選項正確的序號).
5.把二次函式的圖象繞原點旋轉180°後得到的圖象解析式為 .
6.如圖, 把拋物線平移得到拋物線m, 拋物線m經過點a和原點o, 它的頂點為p, 它的對稱軸與拋物線交於點q, 則圖中陰影部分的面積為 .
7.如果一條拋物線()與有兩個交點, 那麼以拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這個三角形的「拋物線三角形」.
「拋物線三角形」一定是三角形;
若拋物線(＞)的「拋物線三角形」是等腰直角三角形, 求的值;
如圖, △oab是拋物線(＞)的「拋物線三角形」, 是否存在以原點o為對稱中心的矩形abcd? 若存在, 求出過o,c,d三點的拋物線表示式; 若不存在, 請說明理由.
跟蹤訓練參***：
1. c 2. d 3. b
4. ①③ 5. 6.
7. 解:等腰.
∵拋物線(＞)的「拋物線三角形」是等腰直角三角形,
∴該拋物線的頂點滿足(＞), 解得.
存在.如圖, 延長ao至點c, 使ao=co, 在軸負半軸上取一點d, 使ob=od, 則四邊形abcd為平行四邊形.
當ao=ob時, 平行四邊形abcd為矩形.
又∵ao=ab,
∴△oab為等邊三角形.
作ae⊥ob於點e, 則ae=oe.
∴.∵＞,
∴.∴a, b.
∵c,d分別是a,b關於原點的中心對稱點,
∴ c, d.
設過o,c,d的拋物線為, 則有
解得∴所求拋物線為.
第二章函式小結與複習
知識網路 知識要點 1 函式 1 函式的概念 2 三要素 定義域，值域，對應法則 3 表示法 解析法 列表法 圖象法 4 求函式的解析式 5 求函式的定義域 6 求一些簡單函式的值域和最值。2 函式的單調性 1 函式單調性的定義 2 單調函式的概念 3 單調區間 4 判斷或證明函式單調性的方法 5 ...
二次函式》小結與複習
2 若二次函式的圖象與x軸還有異於點a的另乙個交點，求m的取值範圍。二 知識點串聯，綜合應用 例 如圖，拋物線y ax2 bx c過點a 1，0 且經過直線y x 3與座標軸的兩個交點b c。1 求拋物線的解析式 2 求拋物線的頂點座標，3 若點m在第四象限內的拋物線上，且om bc，垂足為d，求點...
二次函式》小結與複習
二次函式 小結與複習 3 教學目標 1 使學生掌握二次函式模型的建立，並能運用二次函式的知識解決實際問題。2 能夠分析和表示不同背景下實際問題中變數之間的二次函式關係，獲得用數學方法解決實際問題的經驗，感受數學模型 思想在實際問題中的應用價值。教學重點難點 重點 利用二次函式的知識解決實際問題，並對...