6. 二次函式的應用問題
解決實際應用問題的關鍵是選準變數，建立好二次函式模型，同時還要注意符合實際情景.
【典型例題】
例1. 二次函式y=－x2+2x－1通過向 （左、右）平移個單位，再向上、下）平移個單位，便可得到二次函式y=－x2的圖象.
分析：y=－x2+2x－1的頂點為（3，2），y=－x2的頂點為（0，0），因此可以根據頂點座標確定平移的方向和距離.
解：y=－x2+2x－1=－（x－3）2+2，∴把二次函式y=－x2+2x－1向左平移3個單位，再向下平移2個單位，便得到y=－x2的圖象．
例2. 已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象如下圖所示，則下列5個代數式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大於0的個數有（ ）
a. 5 b. 4 c. 3 d. 2
解析：∵拋物線開口向上，∴a＞0.
∵對稱軸在y軸左側，∴a，b同號.
又a＞0，∴b＞0.
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c﹤o. ∴ab＞0，ac﹤0.
∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2－4ac＞0.
∵對稱軸x=－=－1，
∴b=2a. ∴2a+b﹥0
當x=－1時，y=a－b+c﹤0. ∴選c.
例3. 如圖，拋物線y=－x2+2（m+1）x+m+3與x軸交於a、b兩點，且oa：ob=3：1，則m的值為（ ）
a. － b. 0 c. －或0 d. 1
分析：二次函式的圖象與x軸交點的橫座標與點到原點的距離即線段的長度應區分開，當點a在原點右側時，xa=oa；當點a在原點左側時，xa+oa=0（注：點a在x軸上）.
解：設ob=x，則oa=3x（x﹥0），則b（－x，0），a（3x，0）.
∵－x，3x是方程－x2+2（m+1）x+m+3=0的根，
∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3.
解得m1=0，m2=－.
又∵x﹥0，∴m=－不合題意.
∴m=0，因此選b.
例4. 已知二次函式y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值為0，求m的值.
分析：二次函式y=ax2+bx+c有最大（小）值a﹤0（a＞0）.
解：∵二次函式y=mx2+（m－1）x+m+1有最小值為0，∴即
解得m=1.
例5. 已知關於x的二次函式y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的圖象與x軸總有交點，求m的取值範圍.
分析：這個函式是二次函式，應注意m+6≠0這個條件.
解：∵二次函式y=（m+6）x2+2（m－l）x+（m+1）的圖象與x軸總有交點，
∴ ∴m≤－且m≠－6.
例6. 如圖所示，有一條雙向公路隧道，其橫斷面由拋物線和矩形abco的三邊組成，隧道的最大高度為4. 9m，ab=10m，bc=2.
4m. 現把隧道的橫斷面放在平面直角座標系中，若有一輛高為4m，寬為2m的裝有貨櫃的汽車要通過隧道.
問：如果不考慮其他因素，汽車的右側離開隧道右壁多少公尺才不至於碰隧道頂部？（拋物線部分為隧道頂部，ao、bc為壁）
分析：由已知條件知，拋物線經過原點o（0，0）、c（10，0），頂點的縱座標為（4. 9－2.
4）=2. 5. 由此可求出拋物線的關係式，要想使汽車的頂部不碰到隧道的頂部，看y=4－2.
4=1. 6時，求出x的值.
解：由已知條件知，該拋物線頂點的橫座標為=5，縱座標為4. 9－2. 4=2. 5，c點座標為（0，0），∴設拋物線的函式關係式為y=a（x－5）2+2. 5.
把（0，0）或（10，0）代入上式，得0=25a+2. 5. 解得a=－.
∴y=－（x－5）2+2. 5.
當y=4－2. 4=1. 6時，1. 6=－（x－5）2+2. 5.
解得x1=8，x2=2（不合題意，捨去）.
∴x=8，∴oc－x=10－8=2（公尺）.
故汽車離開右壁至少2公尺，才不會碰到頂部.
點撥：將實際問題轉化成數學問題時，要注意（1）頂點縱座標是（4. 9－2.
4）而不是4. 9；（2）求出的x=2是汽車的右側離開隧道右壁的距離（因為該隧道是雙向的，因此會出現兩種情況），若改為「汽車離開隧道壁多少公尺才不至於碰隧道頂部」，則x1=2，x2=8都合題意.
例7. 今年夏季我國部分地區遭受水災，空軍某部奉命趕赴災區空投物資。已知在空投物資離開飛機後在空中沿拋物線降落，拋物線的頂點在機艙口a處，如圖.
⑴如果空投物資離開a處後下落的垂直高度ab=160公尺時，它到a處的水平距離為bc=200公尺，那麼要使飛機在垂直高度ao=1000公尺的高空進行空投，物資恰好準確落在p處，飛機距p處的水平距離op為多少公尺？
⑵如果根據空投時的實際風力和風向測算，當空投物資離開a處的垂直距離為160公尺時，它到a處的水平距離為400公尺，要使飛機仍在⑴中o點的正上方空投，且使空投物資準確地落在p處，那麼飛機空投的高度應調整為多少公尺？
分析：⑴中由題意可知拋物線的頂點座標為（0，1000），點c的座標為（200，840），因此可設拋物線關係式為y=ax2+1000，再把點c的座標代入即可；⑵由題意知c（400，h－160），再由p點座標即可求出關係式.
解：⑴由題意知，a（0，1000），c（200，840）.
設拋物線的關係式為y=ax2+1000，把x=200，y=840代入上式，得
840=a·40000+1000. 解得a=－. ∴y=－x2+1000.
當y=0時，－x2+1000=0. 解得x1=500，x2=－500（捨去）.
∴飛機應在距p處的水平距離op=500公尺的上空空投物資.
⑵設飛機空投時離地面的高度應調整為h公尺，則設拋物線的關係式為y=ax2+h. 把點c（400，h－160）代入上式，得h－160=a·4002+h. 解得a=－.
∴y=－x2+h. 把x=500，y=0代入上式，得0=－×5002+h.
∴h＝250.
∴飛機空投時離地面的高度應調整為250公尺.
點撥：已知拋物線的頂點時，可先列出二次函式的頂點式，然後根據條件用待定係數法求函式關係式.
例8. 有乙個二次函式的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點：
甲：對稱軸是直線x=4；
乙：與x軸兩個交點的橫座標都是整數；
丙：與y軸交點的縱座標也是整數，且以這三個點為頂點的三角形面積為3.
請你寫出滿足上述全部特點的乙個二次函式關係式 .
分析：本題主要考查二次函式的性質、待定係數法、數形結合思想及拋物線與x軸、y軸交點座標、分類討論思想.
解：如圖，設拋物線與x軸交於a、b，與y軸交於c，則ab·oc=3. ∴ab·oc=6.
分類討論：⑴若ab＝2，則oc＝3.
∴a（3，0），b（5，0），c（0，3）或（0，－3）.
⑵若ab=4，則oc=1. 5. ∴a、b、c三點的座標都為整數，故不合題意.
⑶若ab=6，則oc=1. ∴a（1，0），b（7，0），c（0，1）或（0，－1）.
用待定係數法求得y=x2－x+1或y=－x2+x－1或y=x2－x+3或y=－x2+x－3.
點撥：只需填寫乙個答案即可.
例9. 閱讀下面材料，再回答問題.
一般地，如果函式y=f（x）對於自變數取值範圍內的任意x，都有f（－x）=－f（x），那麼y=f（x）就叫做奇函式；如果函式f（x）對於自變數取值範圍內的任意x，都有f（－x）=f（x），那麼f（x）就叫偶函式.
例如f（x）=x3+x，當x取任意實數時，f（－x）=（－x）3+（－x）=－x3－x=－（x3+x），即f（－x）=－f（x），所以f（x）=x3+x是奇函式.
又如f（x）=|x|，當x取任意實數時，f（－x）=|－x|=|x|，即f（－x）=f（x），所以f（x）=|x|是偶函式.
問題：⑴下列函式中：①y=x4；②y=x2+1；③y=；④y=；⑤y=x+. 所有奇函式是 ，所有偶函式是 .
⑵請你再分別寫出乙個奇函式、乙個偶函式.
分析：本題綜合運用函式及一次函式、二次函式等知識，通過閱讀理解奇函式、偶函式的定義，分析理解所給例子，靈活解決問題，因此要認真理解奇函式，偶函式定義，仔細比較所給的兩個例子.
解：⑴∵（－x）4=x4，∴y=x4是偶函式.
∵（－x）2+l=x2+1，∴y=x2+l是偶函式.
∵，∴y=是奇函式.
∵和－不一定相等，
∴y=即不是奇函式，也不是偶函式.
∵（－x）+，∴y=x+是奇函式.
∴①②是偶函式，③⑤是奇函式.
⑵如y=x是奇函式，y=2x2－1是偶函式.
例10. 已知：在平面直角座標系xoy中，過點p（0，2）任作一條與拋物線y=ax2（a＞0）交於兩點的直線，設交點分別為a、b，且∠aob=90°.
⑴判斷a、b兩點縱座標的乘積是否為乙個確定的值，並說明理由；
⑵確定拋物線y=ax2（a＞0）的關係式；
⑶當△aob的面積為4時，求直線ab的關係式.
分析：⑴中a、b兩點是拋物線與直線的交點，因此可列方程組並結合一元二次方程根與係數的關係來求解，在此基礎上，再求⑵⑶.
解：⑴直線ab過p（0，2），∴設直線ab的關係式為y=kx+2.
由y=kx+2 ①，y=ax2 ②，得ax2－kx－2=0. ③
設a（x1，y1），b（x2，y2）且x1＜x2，則x1，x2是方程ax2－kx－2=0的兩根，
∴x1+x2=，x1x2=－. ∴y1·y2=ax12·ax22=a2·=4.
∴a、b兩點的縱座標的乘積為常數4，是乙個確定的值.
⑵如圖，分別過a、b作x軸的垂線，垂足分別為m、n.
∵∠aob=90°，∴∠1+∠2=90°.
又∵∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1.
∴rt△aom∽rt△obn.
∴. ∴.
∴y1y2=－x1x2，即4=，∴a=.
∴y=x2.
⑶s△aob=4，即s梯形amnb－s△aom－s△bon=4.
∴（y1+y2）（x2－x1）－（－x1）y1－x2y2=4，（x2y1－x1y2）=4.
∵y1=x12，y2=x22，∴x1x2（x1－x2）=4.
又∵x1·x2=－4.
∴x1－x2=－4，（x1－x2）2=32.
第27章《二次函式》小結與複習 2 第16課時
一 例題精析，強化練習，剖析知識點 1 知識點串聯，綜合應用。例 1如圖，已知直線ab經過x軸上的點a 2，0 且與拋物線y ax2相交於b c兩點，已知b點座標為 1，1 1 求直線和拋物線的解析式 2 如果d為拋物線上一點，使得 aod與 obc的面積相等，求d點座標。例 2如圖，拋物線y ax...
第26章二次函式》小結與複習 1
第26章 二次函式 小結與複習 1 教學目標 理解二次函式的概念，掌握二次函式y ax2的圖象與性質 會用描點法畫拋物線，能確定拋物線的頂點 對稱軸 開口方向，能較熟練地由拋物線y ax2經過適當平移得到y a x h 2 k的圖象。重點難點 1 重點 用配方法求二次函式的頂點 對稱軸，根據圖象概括...
第26章二次函式》小結與複習 1
第26章 二次函式 小結與複習 1 教學目標 理解二次函式的概念，掌握二次函式y ax2的圖象與性質 會用描點法畫拋物線，能確定拋物線的頂點 對稱軸 開口方向，能較熟練地由拋物線y ax2經過適當平移得到y a x h 2 k的圖象。重點難點 1 重點 用配方法求二次函式的頂點 對稱軸，根據圖象概括...