1·如圖，四稜錐s-abcd 的底面是正方形，每條側稜的長都是底面邊長的倍，p為側稜sd上的點
（ⅰ）求證：ac⊥sd；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（ⅱ）若sd⊥平面pac，求二面角p-ac-d的大小
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，側稜sc上是否存在一點e，w.w.使得be∥平面pac。若存在，求se：ec的值；若不存在，試說明理由。
2·如圖，四稜錐p-abcd中，底面abcd為平行四
邊形，∠dab=60°,ab=2ad,pd⊥底面abcd.
(ⅰ)證明：pa⊥bd；
(ⅱ)若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。
3·如圖，直三稜柱中，，
是稜的中點，
（1）證明：
（2）求二面角的大小。
1·解法一：（ⅰ）連bd，設ac交bd於o，由題意。在正方形abcd中，，所以,得.
(ⅱ)設正方形邊長，則。
又，所以,
連，由（ⅰ）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
且,所以是二面角的平面角。
由,知,所以,
即二面角的大小為。
（ⅲ）在稜sc上存在一點e，使
由（ⅱ）可得，故可在上取一點,使,過作的平行線與的交點即為。連bn。在中知，又由於,故平面，得,由於,故.
解法二：（ⅰ）；連,設交於於，由題意知.以o為座標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立座標系如圖。
設底面邊長為，則高。
於是w.w.w.k.s.5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故從而
(ⅱ)由題設知，平面的乙個法向量，平面的乙個法向量，設所求二面角為，則,所求二面角的大小為
（ⅲ）在稜上存在一點使.
由（ⅱ）知是平面的乙個法向量，
且設 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
則而即當時， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
而不在平面內，故
2·解析1：（ⅰ）因為, 由餘弦定理得
從而bd2+ad2= ab2，故bd ad;又pd 底面abcd，可得bd pd
所以bd 平面pad. 故 pabd
（ⅱ）如圖，以d為座標原點，ad的長為單位長，射線da為
軸的正半軸建立空間直角座標系d-，則
,,,。
設平面pab的法向量為n=（x,y,z），則,
即因此可取n=
設平面pbc的法向量為m，則
可取m=（0，-1
故二面角a-pb-c的余弦值為
3·【解析】（1）在中，
得：同理：
得：面 （2）面
取的中點，過點作於點，連線
，麵麵面
得：點與點重合
且是二面角的平面角
設，則，
既二面角的大小為
4·如圖，三稜柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，
∠ba a1=60°.
（ⅰ）證明ab⊥a1c;
（ⅱ）若平面abc⊥平面aa1b1b，ab=cb=2，求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值。
5.如圖三稜錐中，側面為菱形，.
(ⅰ) 證明：；
（ⅱ）若，，ab=bc，求二面角的余弦值.
4·【解析】（ⅰ）取ab中點e，鏈結ce，，，
∵ab=， =，∴是正三角形，
∴⊥ab， ∵ca=cb， ∴ce⊥ab，
∵=e，∴ab⊥面，
∴ab6分
（ⅱ）由（ⅰ）知ec⊥ab，⊥ab，
又∵面abc⊥面，面abc∩面=ab，∴ec⊥面，∴ec⊥，
∴ea，ec，兩兩相互垂直，以e為座標原點，的方向為軸正方向，||為單位長度，建立如圖所示空間直角座標系，
有題設知a(1,0,0), (0, ,0),c(0,0,),b(－1,0,0),則=（1,0，）, = =(－1,0,), =(09分
設=是平面的法向量，
則，即，可取=（，1，-1），
∴=，∴直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值為12分
5·解析：（1）鏈結，交於，鏈結.因為側面為菱形，所以，且為與的中點.
又，故（2）因為且為的中點，所以
又因為，所以
故，從而，，兩兩互相垂直.
以為座標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示空間直角座標系.
因為，所以為等邊三角形.又，則
，，，，，設是平面的法向量，
即所以可取
設是平面的法向量，則
同理可取
則所以二面角的余弦值為.
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