三、解答題
1、（昌平區2016屆高三上學期期末）
在四稜錐中，平面平面，為等邊三角形,
, , ,點是的中點．
（i）求證: 平面；
（ii）求二面角的余弦值；
（iii）**段上是否存在點，使得
平面？若存在,請求出
的值；若不存在,請說明理由.
2、（朝陽區2016屆高三上學期期末）如圖，在四稜錐中，底面是菱形，且．點是稜的中點，平面與稜交於點．
（ⅰ）求證：∥；
（ⅱ）若，且平面平面，
求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
3、（大興區2016屆高三上學期期末）如圖，在三稜錐中，平面平面，，,為的中點， .
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值；
（ⅲ）若為中點，在直線上
是否存在點使平面,
若存在，求出的長，若不存在，說明理由.
4、（東城區2016屆高三上學期期末）如圖，在四稜錐中，底面為正方形，
底面，,為稜的中點.
（ⅰ）證明: ；
（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（ⅲ）若為中點，稜上是否存在一點，使得，若存在，
求出的值，若不存在，說明理由.
5、（豐台區2016屆高三上學期期末） 如圖，在四稜錐p-abcd中，ad∥bc，ab⊥ad，e是ab的中點，ab=ad=pa=pb=2，bc=1，pc=.
（ⅰ）求證：cf∥平面pab；
（ⅱ）求證：pe⊥平面abcd；
(ⅲ)求二面角b-pa-c的余弦值.
6、（海淀區2016屆高三上學期期末）如圖，在四稜錐中，底面，底面為梯形，，，且.
（ⅰ）若點為上一點且，
證明：平面；
（ⅱ）求二面角的大小；
（ⅲ）**段上是否存在一點，使得?
若存在，求出的長；若不存在，說明理由.
7、（石景山區2016屆高三上學期期末）在四稜錐中，側面底面，，為中點，底面是直角梯形，，，，.
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求證：平面；
（ⅲ）**段上是否存在一點，使得二面角為？
若存在,求的值；若不存在，請述明理由．
8、（西城區2016屆高三上學期期末）如圖，在四稜錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，, ,分別為的中點，點**段上.
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）若為的中點，求證：平面；
（ⅲ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值.
參***
1、（ⅰ）證明:取中點,鏈結.
因為為中點 ,
所以.因為.
所以且.
所以四邊形為平行四邊形,
所以.因為,
平面,所以平面4分
（ⅱ） 取中點,鏈結
因為,所以.
因為平面平面,
平面平面,
平面,所以.
取中點,鏈結,則
以為原點,如圖建立空間直角座標系,設則
.平面的法向量,
設平面的法向量,
由得令，則.
.由圖可知，二面角是銳二面角，
所以二面角的余弦值為9分
（ⅲ） 不存在.
設點,且,
則所以.
則所以,.
若,則,
即，此方程無解,
所以**段上不存在點,使得14分
2、解：（ⅰ）因為，所以．
又因為，所以．
所以7分
（ⅱ）在中，由，得．
所以． …………13分
3、（ⅰ）
…… 1分
2分…… 3分
…… 4分
（ⅱ）如圖建立空間直角座標系a-xyz,
…… 1分
即 …… 3分
…… 4分
…… 5分
因為所求的二面角為銳角，
…… 6分
（ⅲ），, …… 1分 2分
3分4分
4、（ⅰ）證明：因為底面，
所以．因為，所以.
由於，所以有．
分（ⅱ）解：依題意，以點為原點建立空間直角座標系（如圖），
不妨設，可得，，，
.由為稜的中點，得.
向量,.
設為平面的法向量，則即．
不妨令，可得（1,1,1）為平面的乙個法向量.
所以. 所以，直線與平面所成角的正弦值為11分
（ⅲ）解：向量，，.
由點在稜上，設.
故. 由，得，
因此，，解得.
所以13分
5、解：（ⅰ）取的中點，連線，
因為是中點，是中點，
所以，又因為，
所以四邊形是平行四變形
面，面所以面5分
（ⅱ）連線，
因為在中，，點是邊在的中點，
所以且，
在中，，，所以
在中，，，，
所以又因為面，面
所以面9分
（ⅲ）取中點，以，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角座標系，各點座標為：，，，，
因為：，
所以麵麵的法向量為
設面的法向量為
， 由圖可知二面角為銳二面角，設銳二面角為
二面角余弦值為14分
6、解：
（ⅰ）過點作，交於,連線,
因為，所以1分
又，，所以2分
所以為平行四邊形, 所以3分
又平面，平面,………………….4分（乙個都沒寫的，則這1分不給）
所以平面5分
（ⅱ）因為梯形中，，,所以.
因為平面，所以,
如圖，以為原點，
所在直線為軸建立空間直角座標系6分
所以.設平面的乙個法向量為，平面的乙個法向量為,
因為所以，即7分
取得到8分
同理可得9分
所以10分
因為二面角為銳角，
所以二面角為11分
（ⅲ）假設存在點，設，
所以12分
所以，解得13分
所以存在點，且14分
7、解：（ⅰ）取的中點，鏈結，因為為中點，所以，
且，在梯形中，，，
所以，，四邊形為平行四邊形，
所以2分
因為平面，平面，
所以平面4分
（ⅱ）平面底面，，所以平面，
所以5分
如圖，以為原點建立空間直角座標系.
則6分，，
所以8分
又由平面，可得，
因為所以平面9分
（ⅲ）平面的法向量為10分
，設，所以11分
設平面的法向量為，
，，由，，得，令
所以12分
所以13分
注意到，得.
所以**段上存在一點，使得二面角為，
此時14分
8、（ⅰ）證明：在平行四邊形中，因為，，
所以.由分別為的中點，得，
所以1分
因為側面底面，且，
所以底面2分
又因為底面，
所以3分
又因為，平面，平面，
所以平面4分
（ⅱ）證明：因為為的中點，分別為的中點，
所以，又因為平面，平面，
所以平面5分
同理，得平面.
又因為，平面，平面，
所以平面平面7分
又因為平面，
所以平面9分
（ⅲ）解：因為底面，，所以兩兩垂直，故以
分別為軸、軸和軸，如上圖建立空間直角座標系，
則，所以10分
設，則，
所以，，
易得平面的法向量11分
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