（2010浙江理數）（20）如圖， 在矩形中，點分別**段上，
.沿直線將翻折成，使平面.
（ⅰ）求二面角的余弦值；
（ⅱ）點分別**段上，若沿直線將四邊形向上翻摺，使與重合，求線段的長。
解：（ⅰ）取線段ef的中點h，鏈結，因為=及h是ef的中點，所以,又因為平面平面.如圖建立空間直角座標系a-xyz
則（2，2，），c（10，8，0），f（4，0，0），d（10，0，0）.故=（-2，2，2），
=（6，0，0）.設=（x,y,z）為平面的乙個法向量，∴-2x+2y+2z=0, 且6x=0.
取，則。又平面的乙個法向量，故。
所以二面角的余弦值為
（ⅱ）設則，因為翻摺後，與重合，所以，
故，得，經檢驗，此時點**段上，
所以。方法二：（ⅰ）取線段的中點,的中點,鏈結。因為=及是的中點，所以,又因為平面平面，所以平面,又平面,
故，又因為、是、的中點，易知∥，所以，
於是面，所以為二面角的平面角.
在中，=，=2，=,所以.故二面角的余弦值為。
（ⅱ）設,因為翻摺後，與重合，所以，
而， 得，經檢驗，此時點**段上，所以。
（2010遼寧理數）（19）已知三稜錐p－abc中，pa⊥abc，ab⊥ac，pa=ac=ab，n為ab上一點，ab=4an,m,s分別為pb,bc的中點.
（ⅰ）證明：cm⊥sn；
（ⅱ）求sn與平面cmn所成角的大小.
證：設pa=1，以a為原點，射線ab，ac，ap分別為x，y，z軸正向建立空間直角座標系如圖。則p（0,0,1），c（0,1,0），b（2,0,0），
m（1,0,），n（,0,0），s（1,,0）.
（ⅰ）,因為，所以cm⊥sn .
（ⅱ）,設a=（x，y，z）為平面cmn的乙個法向量,則
所以sn與片面cmn所成角為45°。
（2010江西理數）
20. 如圖△bcd與△mcd都是邊長為2的正三角形，
平面mcd平面bcd，ab平面bcd，。
(1) 求點a到平面mbc的距離；
(2) 求平面acm與平面bcd所成二面角的正弦值。
解：（1）取cd中點o，連ob，om，則ob⊥cd，om⊥cd.
又平面平面,則mo⊥平面，所以mo∥ab，a、b、o、m共面.延長am、bo相交於e，則∠aeb就是am與平面bcd所成的角.ob=mo=，mo∥ab，mo//面abc，m、o到平面abc的距離相等，作ohbc於h，連mh，則mhbc，求得：
oh=ocsin600=,mh=,利用體積相等得：。
（2）ce是平面與平面的交線.由（1）知，o是be的中點，則bced是菱形.
作bf⊥ec於f，連af，則af⊥ec，∠afb就是二面角a-ec-b的平面角，設為.因為∠bce=120°，所以∠bcf=60°. ，，∴所求二面角的正弦值是.
解法二：取cd中點o，連ob，om，則ob⊥cd，om⊥cd，又平面平面,則mo⊥平面.以o為原點，直線oc、bo、om為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角座標系如圖.ob=om=，則各點座標分別為o（0，0，0），
c（1，0，0），m（0，0，），b（0，-，0），a（0，-，2），
（1）設是平面mbc的法向量，則，
，由得；由得；取，則距離
（2），.
設平面acm的法向量為，由得.解得，，取.又平面bcd的法向量為，則.設所求二面角為，則
（2010四川理數）
（18）
已知正方體abcd－a'b'c'd'的稜長為1，
點m是稜aa'的中點，點o是對角線bd'的中點.
（ⅰ）求證：om為異面直線aa'和bd'的公垂線；
（ⅱ）求二面角m－bc'－b'的大小；
（ⅲ）求三稜錐m－obc的體積.
解：（1）鏈結ac，取ac中點k，則k為bd的中點，鏈結ok因為m是稜aa』的中點，點o是bd』的中點,所以am,所以mo,由aa』⊥ak，得mo⊥aa』
因為ak⊥bd,ak⊥bb』，所以ak⊥平面bdd』b』,所以ak⊥bd』,
所以mo⊥bd』,又因為om是異面直線aa』和bd』都相交,故om為異面直
線aa'和bd'的公垂線.
（2）取bb』中點n，鏈結mn，則mn⊥平面bcc』b』,過點n作nh⊥bc』於h，鏈結mh,則由三垂線定理得bc』⊥mh,從而,∠mhn為二面角m-bc』-b』的平面角.
mn=1,nh=bnsin45°=,在rt△mnh中，tan∠mhn=
故二面角m-bc』-b』的大小為arctan2.
(3)易知，s△obc=s△oa』d』，且△obc和△oa』d』都在平面bcd』a』內.點o到平面ma』d』距離h＝
vm-obc=vm-oa』d』=vo-ma』d』=s△ma』d』h=
解法二：以點d為座標原點，建立如圖所示空間直角座標系d-xyz, 則a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0),
a』(1,0,1),c』(0,1,1),d』(0,0,1).
(1) 因為點m是稜aa』的中點,點o是bd』的中點,m(1,0, ),
o(,,),,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ,=0, +0=0,所以om⊥aa』,om⊥bd』. 又因為om與異面直線aa』和bd』都相交,故om為異面直線aa'和bd'的公垂線.
(2) 設平面bmc'的乙個法向量為=(x,y,z),=(0,-1,), ＝(－1,0,1) ,
即. 取z＝2,則x＝2,y＝1，從而=(2,1,2) ,取平面bc'b'的乙個法向量為＝(0,1,0)
cos,由圖可知，二面角m-bc'-b'的平面角為銳角,故二面角m-bc'-b'的大小為arccos.
(3)易知，s△obc＝s△bcd'a'＝.設平面obc的乙個法向量為＝(x1,y1,z1)
＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0),,即取z1＝1,得y1＝1，從而＝(0,1,1)
點m到平面obc的距離d＝
vm－obc＝.
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