第一章空間幾何體
（一）空間幾何體的結構特徵
（1）多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.
旋轉體——把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體.
（2）柱，錐，臺，球的結構特徵
1.稜柱
1.1稜柱——有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱。
1.2相關稜柱幾何體系列（稜柱、斜稜柱、直稜柱、正稜柱）的關係：
[, ] 底面為平行四邊形 側稜垂直於底面 底面為矩形
底面為正方形 側稜與底面邊長相等
1.3稜柱的性質：
側稜都相等，側面是平行四邊形；
兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形；
過不相鄰的兩條側稜的截面是平行四邊形；
直稜柱的側稜長與高相等，側面與對角面是矩形。
2.圓柱
2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.
2.2圓柱的性質：上、下底及平行於底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.
2.3側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.
3.稜錐
3.1稜錐——有乙個面是多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐。
正稜錐——如果有乙個稜錐的底面是正多邊形，並且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。
3.2稜錐的性質：
平行於底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
正稜錐各側稜相等，各側面是全等的等腰三角形；
正稜錐中六個元素，即側稜、高、斜高、側稜在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角三角形。）（如上圖：為直角三角形）
4.圓錐
4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。
4.2圓錐的性質：
平行於底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
軸截面是等腰三角形；如右圖：
如右圖：.
4.3圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。
5.稜臺
5.1稜臺——用乙個平行於底面的平面去截稜錐，我們把截面與底面之間的部分稱為稜臺.
5.2正稜臺的性質：
各側稜相等，各側面都是全等的等腰梯形；
正稜臺的兩個底面以及平行於底面的截面是正多邊形；
如右圖：四邊形都是直角梯形
稜臺經常補成稜錐研究.如右圖：，注意考慮相似比.
6.圓台
6.1圓台——用平行於圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓台.
6.2圓台的性質：
圓台的上下底面，與底面平行的截面都是圓；
圓台的軸截面是等腰梯形；
圓台經常補成圓錐來研究。如右圖：，注意相似比的應用.
6.3圓台的側面展開圖是乙個扇環；
7.球7.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球.
或空間中，與定點距離等於定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；
（二）空間幾何體的三檢視與直觀圖
1.投影：區分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。
2.三檢視——是觀察者從三個不同位置觀察同乙個空間幾何體而畫出的圖形；
正檢視——光線從幾何體的前面向後面正投影，得到的投影圖；
側檢視——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；
正檢視——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；
注：（1）俯檢視畫在正檢視的下方，「長度」與正檢視相等；側檢視畫在正檢視的右邊，「高度」與正檢視相等，「寬度」與俯檢視。（簡記為長對正，高平齊，寬相等）.
（2）正檢視，側檢視，俯檢視都是平面圖形，而不是直觀圖。
3.直觀圖：
3.1直觀圖——是觀察著站在某一點觀察乙個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。
3.2斜二測法：
step1：在已知圖形中取互相垂直的軸ox、oy，（即取）；
step2：畫直觀圖時，把它畫成對應的軸，取，它們確定的平面表示水平平面；
step3：在座標系中畫直觀圖時，已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變，平行於x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行於y軸（或在y軸上）的線段長度減半。
解決兩種常見的題型時應注意：
（1）由幾何體的三檢視畫直觀圖時，一般先考慮「俯檢視」.
（2）由幾何體的直觀圖畫三檢視時，能看見的輪廓線和稜畫成實線，不能看見的輪廓線和稜畫成虛線。
第二章點、直線、平面之間的位置關係
一. 平面的基本性質
1．公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內．
若a∈l，b∈l，a∈，b∈，則l．
2．公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線．
p∈，p∈∩＝l，且p∈l．
3．公理3 經過不在同一條直線上的三點，有且只有乙個平面．
推論1 經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有乙個平面．
推論2 經過兩條相交直線，有且只有乙個平面．
推論3 經過兩條平行直線，有且只有乙個平面．
4．公理4（空間平行線的傳遞性）：平行於同一條直線的兩條直線互相平行．
5．等角定理：如果乙個角的兩邊和另一角的兩邊分別平行（並且方向相同），那麼這兩個角相等或互補（相等）．
二. 空間線面的位置關係
共面平行—沒有公共點
(1)直線與直線相交—有且只有乙個公共點
異面(既不平行，又不相交)
直線在平面內—有無數個公共點
(2)直線和平面直線不在平面內平行—沒有公共點
直線在平面外) 相交—有且只有一公共點
(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數個公共點)
平行—沒有公共點
三. 線面平行與垂直的判定
(1)兩直線平行的判定
①定義：在同乙個平面內，且沒有公共點的兩條直線平行.
②平行於同一條直線的兩直線平行.
③如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行.
④兩平行平面與同乙個平面相交，那麼兩條交線平行.
⑤垂直於同一平面的兩直線平行.
(2)兩直線垂直的判定
①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.（異面垂直，相交垂直）
②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.
③一條直線垂直於乙個平面，則垂直於這個平面內的任意一條直線. ④
(3)直線與平面平行的判定
①定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這條直線與這個平面平行.
②若平面外一直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.
③兩個平面平行，其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面.
(4)直線與平面垂直的判定
①定義：若一條直線和乙個平面內的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.
②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面.
③如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於同一平面.
④如果兩個平面互相垂直，則在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面，
(5)兩平面平行的判定
①定義：如果兩個平面沒有公共點，那麼這兩個平面平行.
②如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行.
③乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另一平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，
(6)兩平面垂直的判定
①定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那麼這兩個平面互相垂直，
②如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直，
四. 空間中的各種角（了解）
1．等角定理及其推論：
定理若乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行，並且方向相同，則這兩個角相等.
推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的角相等.
2．異面直線所成的角
(1)定義：a、b是兩條異面直線，經過空間任意一點ｏ，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.
(2)取值範圍：.
(3)求解方法
解題步驟：
一尋找：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條異面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法；
二證明：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證明線線平行；
三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；
3．直線和平面所成的角
(1)斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說，斜線和平面所成的角不大於斜線與平面內任何直線所成的角.
(2)取值範圍
(3)求解方法①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理
4．二面角及二面角的平面角
(1)半平面：直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 ：一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的稜，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一稜一半平面組成.
(3)二面角的平面角：以二面角稜上任意一點為端點，分別在兩個麵內作垂直於稜的射線，這兩條射線所組成的角叫二面角的平面角. 取值範圍.
基礎知識網路
證明專項習題：
1. 在稜長為的正方體中，，，分別為稜，和的中點．
（ⅰ）求證：∥平面；
（ⅱ）試在稜上求一點，使⊥平面．
2. 在如圖的多面體中，⊥平面，,，，，，，是的中點．
(ⅰ) 求證：平面；
(ⅱ) 求證：；
3. 如圖，在四稜錐p-abcd中，底面abcd為直角梯形，ad//bc，∠adc=90°，平面pad⊥底面abcd，q為ad的中點，m是稜pc上的點，pa=pd=2，bc=ad=1，cd=．
（ⅰ）若點m是稜pc的中點，求證：pa // 平面bmq；
立體幾何總結 1
一 選擇題 每題5分 1 abc所在平面 外一點p到三角形三頂點的距離相等，那麼點p在 內的射影一定是 abc的 a 外心b 內心c 重心d 以上都不對 2 設直線a在平面m內，則平面m平行於平面n是直線a平行於平面n的 a 充分非必要條件 b 必要非充分條件 c 充要條件d 非充分非必要條件 3 ...
立體幾何講義總結
第一節1.平面 2 空間直線.1.空間直線位置分三種 相交 平行 異面.2，三公理 判斷直線是否在平面內判定兩個平面是否相交的依據確定乙個平面的依據 3.空間線面的位置關係 共面平行 沒有公共點 1 直線與直線相交 有且只有乙個公共點 異面 既不平行，又不相交 直線在平面內 有無數個公共點 2 直線...
高考立體幾何總結
例1 如圖，s是平行四邊形abcd平面外一點，m，n分別是sa，bd上的點，且am sm bn nd,求mn 平面sbc 例2 已知e，f分別是正方形abcd邊ad，ab的中點，ef交ac於m，gc垂直於abcd所在平面 1 求證 ef 平面gmc 2 若ab 4，gc 2，求點b到平面efg的距離...