二、垂直關係
題型一直線與平面垂直的判定與性質
例1 (2016·全國甲卷改編)如圖，菱形abcd的對角線ac與bd交於點o，ab＝5，ac＝6，點e，f分別在ad，cd上，ae＝cf＝，ef交bd於點h.將△def沿ef折到△d′ef的位置．od′＝.
證明：d′h⊥平面abcd.
變式1(2015·江蘇)如圖，在直三稜柱abc-a1b1c1中，已知ac⊥bc，bc＝cc1.設ab1的中點為d，b1c∩bc1＝e.
求證：(1)de∥平面aa1c1c；
(2)bc1⊥ab1.
題型二平面與平面垂直的判定與性質
例2 如圖，四稜錐p－abcd中，ab⊥ac，ab⊥pa，ab∥cd，ab＝2cd，e，f，g，m，n分別為pb，ab，bc，pd，pc的中點．
(1)求證：ce∥平面pad；
(2)求證：平面efg⊥平面emn.
變式2(2016·江蘇)如圖，在直三稜柱abca1b1c1中，d，e分別為ab，bc的中點，點f在側稜b1b上，且b1d⊥a1f，a1c1⊥a1b1.
求證：(1)直線de∥平面a1c1f；
(2)平面b1de⊥平面a1c1f.
題型三直線、平面垂直的綜合應用
例3 如圖所示，在四稜錐p—abcd中，平面pad⊥平面abcd，ab∥dc，△pad是等邊三角形，已知bd＝2ad＝8，ab＝2dc＝4.
(1)設m是pc上的一點，求證：平面mbd⊥平面pad；
(2)求四稜錐p—abcd的體積．16
典例 (12分)如圖所示，m，n，k分別是正方體abcd—a1b1c1d1的稜ab，cd，c1d1的中點．
求證：(1)an∥平面a1mk；
(2)平面a1b1c⊥平面a1mk.
立體幾何垂直證明 教師
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