1.如圖，和所在平面互相垂直，且，，e、f分別為ac、dc的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的正弦值.
（ⅰ）證明：
（方法一）過e作eo⊥bc，垂足為o，連of，
由△abc≌△dbc可證出△eoc≌△foc，所以∠eoc=∠foc=，即fo⊥bc，
又eo⊥bc，因此bc⊥面efo，
又ef面efo，所以ef⊥bc.
（方法二）由題意，以b為座標原點，在平面dbc內過b左垂直bc的直線為x軸，bc所在直線為y軸，在平面abc內過b作垂直bc的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角座標系.
易得b（0,0,0），a(0，-1，),d(,-1,0)，c(0,2,0),因而,所以，因此,從而，所以.
（ⅱ）（方法一）在圖1中，過o作og⊥bf，垂足為g，連eg，由平面abc⊥平面bdc，從而eo⊥平面bdc，又og⊥bf，由三垂線定理知eg垂直bf.
因此∠ego為二面角e-bf-c的平面角；
在△eoc中，eo=ec=bc·cos30°=，由△bgo∽△bfc知，,因此tan∠ego=,從而sin∠ego=，即二面角e-bf-c的正弦值為.
（方法二）在圖2中，平面bfc的乙個法向量為，設平面bef的法向量，又,由得其中乙個，設二面角e-bf-c的大小為，且由題意知為銳角，則，因sin==，即二面角e-bf-c的正弦值為.
2.如圖，三稜柱中，點在平面abc內的射影d在ac上，，.
（1）證明：；
（2）設直線與平面的距離為，求二面角的大小.
解：法一：（1）因為平面，平面，故平面平面.又，所以平面.鏈結.因為側面為菱形，故.由三垂線定理得.
（2）平面，平面，故平面平面.
作，為垂足，則平面.
又直線平面，因而為直線與平面的距離，.
因為為的平分線，故.
作，為垂足，鏈結.由三垂線定理得，
故為二面角的平面角.
由得為中點，
，.所以二面角的大小為。
解法二：以為座標原點，射線為軸的正半軸，以的長為單位長，建立如圖所示的空間直角座標系
由題設知與軸平行，軸在平面內
（1）設，由題設有，則，，………………2分
由即①於是，所以……………………5分
（2）設平面的法向量，則，所以
因，所以
令，則，所以，點到平面的距離為
又依題設，到平面的距離為，所以
代入①解得（捨去）或8分
於是，設平面的法向量，則
所以，所以，令，則
又為平面的法向量，故
所以二面角的大小為……………………12分.
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