垂直與平行的問題
例1兩個全等的正方形abcd和abef所在平面相交於ab，m∈ac，n∈fb，且am=fn，求證 mn∥平面bce
證法一作mp⊥bc，nq⊥be，p、q為垂足，則mp∥ab，nq∥ab
∴mp∥nq，又am=nf，ac=bf，
∴mc=nb，∠mcp=∠nbq=45°
∴rt△mcp≌rt△nbq
∴mp=nq,故四邊形mpqn為平行四邊形
∴mn∥pq
∵pq平面bce，mn在平面bce外，
∴mn∥平面bce
證法二如圖過m作mh⊥ab於h，則mh∥bc，
∴鏈結nh，由bf=ac，fn=am，得
∴ nh//af//be
由mh//bc, nh//be得:平面mnh//平面bce
∴mn∥平面bce
例2在斜三稜柱a1b1c1—abc中，底面是等腰三角形，ab=ac，側面bb1c1c⊥底面abc
(1)若d是bc的中點，求證 ad⊥cc1；
(2)過側面bb1c1c的對角線bc1的平面交側稜於m，
若am=ma1，求證截面mbc1⊥側面bb1c1c；
(3)am=ma1是截面mbc1⊥平面bb1c1c的充要條件
嗎？請你敘述判斷理由
(1)證明 ∵ab=ac，d是bc的中點，∴ad⊥bc
∵底面abc⊥平面bb1c1c，∴ad⊥側面bb1c1c
∴ad⊥cc1
(2)證明延長b1a1與bm交於n，鏈結c1n
∵am=ma1，∴na1=a1b1
∵a1b1=a1c1，∴a1c1=a1n=a1b1
∴c1n⊥c1b1
∵底面nb1c1⊥側面bb1c1c，∴c1n⊥側面bb1c1c
∴截面c1nb⊥側面bb1c1c
∴截面mbc1⊥側面bb1c1c
(3)解結論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性
過m作me⊥bc1於e，∵截面mbc1⊥側面bb1c1c
∴me⊥側面bb1c1c，又∵ad⊥側面bb1c1c
∴me∥ad，∴m、e、d、a共面
∵am∥側面bb1c1c，∴am∥de
∵cc1⊥am，∴de∥cc1
∵d是bc的中點，∴e是bc1的中點
∴am=de=aa1，∴am=ma1
例3 已知斜三稜柱abc—a1b1c1中，a1c1=b1c1=2，d、d1分別是ab、a1b1的中點，平面a1abb1⊥平面a1b1c1，異面直線ab1和c1b互相垂直
(1)求證 ab1⊥c1d1；
(2)求證 ab1⊥面a1cd；
(3)若ab1=3，求直線ac與平面a1cd所成的角
(1)證明 ∵a1c1=b1c1，d1是a1b1的中點，
∴c1d1⊥a1b1於d1，
又∵平面a1abb1⊥平面a1b1c1，
∴c1d1⊥平面a1b1ba，
而ab1平面a1abb1，∴ab1⊥c1d1
(2)證明鏈結d1d，
∵d是ab中點，∴dd1cc1，∴c1d1∥cd，
由(1)得cd⊥ab1，又∵c1d1⊥平面a1abb1，c1b⊥ab1，
由三垂線定理得bd1⊥ab1，
又∵a1d∥d1b，∴ab1⊥a1d而cd∩a1d=d，∴ab1⊥平面a1cd
(3)解由(2)ab1⊥平面a1cd於o，
鏈結co1得∠aco為直線ac與平面a1cd所成的角，
∵ab1=3，ac=a1c1=2，∴ao=1，∴sinoca=，
∴∠oca=
學生鞏固練習
1 在長方體abcd—a1b1c1d1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點a1到截面ab1d1的距離是( )
abcd
2 在直二面角α—l—β中，直線aα,直線bβ,a、b與l斜交，則( )
a a不和b垂直，但可能a∥b b a可能和b垂直，也可能a∥b
c a不和b垂直，a也不和b平行 d a不和b平行，但可能a⊥b
3 設x、y、z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使「x⊥z且y⊥zx∥y」為真命題的是填序號)
①x、y、z是直線 ②x、y是直線，z是平面 ③z是直線，x、y是平面 ④x、y、z是平面
4 設a,b是異面直線，下列命題正確的是
①過不在a、b上的一點p一定可以作一條直線和a、b都相交
②過不在a、b上的一點p一定可以作乙個平面和a、b都垂直
③過a一定可以作乙個平面與b垂直
④過a一定可以作乙個平面與b平行
5 如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是矩形，側
稜pa垂直於底面，e、f分別是ab、pc的中點
(1)求證 cd⊥pd;
(2)求證 ef∥平面pad;
(3)當平面pcd與平面abcd成多大角時，直線ef⊥平
面pcd？
6 如圖，在正三稜錐a—bcd中，∠bac=30°，ab=a,
平行於ad、bc的截面efgh分別交ab、bd、dc、ca
於點e、f、g、h
(1)判定四邊形efgh的形狀，並說明理由
(2)設p是稜ad上的點，當ap為何值時，平面pbc
⊥平面efgh，請給出證明
7 如圖，正三稜柱abc—a1b1c1的各稜長都相等，d、
e分別是cc1和ab1的中點，點f在bc上且滿足bf∶fc=1∶3
(1)若m為ab中點，求證 bb1∥平面efm；
(2)求證 ef⊥bc；
(3)求二面角a1—b1d—c1的大小
8 如圖，已知平行六面體abcd—a1b1c1d1的底面是菱
形且∠c1cb=∠c1cd=∠bcd=60°,
(1)證明 c1c⊥bd；
(2)假定cd=2，cc1=，記麵c1bd為α,面cbd為β,
求二面角α—bd—β的平面角的余弦值；
(3)當的值為多少時，可使a1c⊥面c1bd？
[參***]
1 解析如圖，設a1c1∩b1d1=o1，∵b1d1⊥a1o1，b1d1⊥aa1，∴b1d1⊥平面aa1o1，故平面aa1o1⊥ab1d1，交線為ao1，在面aa1o1內過a1作a1h⊥ao1於h，則易知a1h長即是點a1到平面ab1d1的距離，在rt△a1o1a中，a1o1=，ao1=3，由a1o1·a1a=h·ao1,可得a1h=
答案 c
2 解析如圖，在l上任取一點p，過p分別在α、
β內作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點a，過a作
ac⊥l，垂足為c，則ac⊥β,過c作cb⊥b′交b′於
b，連ab，由三垂線定理知ab⊥b′，
∴△apb為直角三角形,故∠apb為銳角
答案 c
3 解析 ①是假命題，直線x、y、z位於正方體的三條共點稜時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面x、y、z位於正方體的三個共點側面時為反例
答案 ②③
4 ④
5 證明 (1)∵pa⊥底面abcd，∴ad是pd在平面abcd內的射影，
∵cd平面abcd且cd⊥ad，∴cd⊥pd
(2)取cd中點g，連eg、fg，
∵e、f分別是ab、pc的中點，∴eg∥ad，fg∥pd
∴平面efg∥平面pad，故ef∥平面pad
(3）解當平面pcd與平面abcd成45°角時，直線ef⊥面pcd
證明 g為cd中點，則eg⊥cd,由(1)知fg⊥cd，故∠egf為平面pcd與平面abcd所成二面角的平面角即∠egf=45°，從而得∠adp=45°，ad=ap
由rt△pae≌rt△cbe,得pe=ce
又f是pc的中點，∴ef⊥pc，由cd⊥eg，cd⊥fg，得cd⊥平面efg，cd⊥ef即ef⊥cd，故ef⊥平面pcd
6 (1)證明 ∵ad//面efgh,面acd∩面efgh＝hg，,ad面acd
∴ ad//hg.
同理ef∥fg，∴efgh是平行四邊形
∵a—bcd是正三稜錐，∴a在底面上的射影o是△bcd的中心，
∴do⊥bc，∴ad⊥bc，
∴hg⊥eh，四邊形efgh是矩形
(2)作cp⊥ad於p點，鏈結bp，∵ad⊥bc，∴ad⊥面bcp
∵hg∥ad，∴hg⊥面bcp，hg面efgh 面bcp⊥面efgh，
在rt△apc中，∠cap=30°，ac=a,∴ap=a
7 (1)證明鏈結em、mf，∵m、e分別是正三稜柱的稜ab和ab1的中點，
∴bb1∥me，又bb1平面efm，∴bb1∥平面efm
(2)證明取bc的中點n，鏈結an由正三稜柱得 an⊥bc，
又bf∶fc=1∶3，∴f是bn的中點，故mf∥an，
∴mf⊥bc，而bc⊥bb1，bb1∥me
∴me⊥bc，由於mf∩me=m，∴bc⊥平面efm，
又ef 平面efm，∴bc⊥ef
(3)解取b1c1的中點o，鏈結a1o知，a1o⊥面bcc1b1，由點o作b1d的垂線oq，垂足為q，鏈結a1q，由三垂線定理，a1q⊥b1d，故∠a1qd為二面角a1—b1d—c的平面角，易得∠a1qo=arctan
8 (1)證明鏈結a1c1、ac，ac和bd交於點o，鏈結c1o，
∵四邊形abcd是菱形，∴ac⊥bd，bc=cd
又∵∠bcc1=∠dcc1，c1c是公共邊，∴△c1bc≌△c1dc，∴c1b=c1d
∵do=ob，∴c1o⊥bd，但ac⊥bd，ac∩c1o=o
∴bd⊥平面ac1，又c1c平面ac1，∴c1c⊥bd
(2)解由(1)知ac⊥bd，c1o⊥bd，
∴∠c1oc是二面角α—bd—β的平面角
在△c1bc中，bc=2，c1c=，∠bcc1=60°，
∴c1b2=22+()2－2×2××cos60°=
∵∠ocb=30°,∴ob=,bc=1,c1o=,即c1o=c1c
作c1h⊥oc，垂足為h，則h是oc中點且oh=，∴cosc1oc=
(3)解由(1)知bd⊥平面ac1，∵a1o平面ac1，∴bd⊥a1c，當=1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同理可證bc1⊥a1c，又∵bd∩bc1=b，∴a1c⊥平面c1bd
高中數學專題複習講座關於求空間的角的問題
例1在稜長為a的正方體abcd—a′b′c′d′中，
e、f分別是bc、a′d′的中點
(1)求證四邊形b′edf是菱形；
(2)求直線a′c與de所成的角；
立體幾何中平行與垂直的證明
高中數學專題複習講座關於求空間的角的問題 例1在稜長為a的正方體abcd a b c d 中，e f分別是bc a d 的中點 1 求證四邊形b edf是菱形 2 求直線a c與de所成的角 3 求直線ad與平面b edf所成的角 4 求面b edf與面abcd所成的角 1 證明如上圖所示，由勾股定...
立體幾何平行與垂直證明
例 如圖，在稜長為 的正方體中，e f分別是稜的中點 求異面直線所成的角 ii 求和面efbd所成的角 求到面efbd的距離 如圖，在幾何體abcde中，abc是等腰直角三角形，abc 900，be和cd都垂直於平面abc，且be ab 2，cd 1，點f是ae的中點.求證 df 平面abc 求ab...
立體幾何 平行與垂直的證明
立體幾何 位置關係 1.設是直線，a，是兩個不同的平面 a.若 a，則ab.若 a，則a c.若a a，則d.若a a，則 2 設m.n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,a 若m n 則m n b 若m m 則 c 若m n,m 則n d 若m 則m 3.設為直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確...