一．【學習目標】1.通過學習更進一步掌握空間中線面的位置關係;
2.掌握正確的判定和證明平行與垂直的方法.
（二）例題講解：
考點1：垂直關係的判定
考點2：垂直問題的證明
例5、如圖，pa⊥平面abc，平面pab⊥平面pbc 求證：ab⊥bc
例6．已知正方體abcd—a1b1c1d1，o是底abcd對角線的交點．
求證：（1）c1o//平面ab1d1； （2）a1c⊥平面ab1d1．
【變式一】如圖，在長方體中,，點在稜上移動。
求證：⊥；
【變式二a】如圖平面abcd⊥平面abef， abcd是正方形，abef是矩
形，且g是ef的中點，
（1）求證平面agc⊥平面bgc； （2）求空間四邊形agbc的體積。
2．如果把【變式二a】的圖復原有什麼新的認識？
【變式二b】. 如圖，在直三稜柱(側稜與底面垂直的三稜柱)中，，
，，是邊的中點.
（ⅰ）求證：； （ⅱ）求證：∥ 面；
【變式三】如圖組合體中，三稜柱的側面
是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合乙個點.
（ⅰ）求證：無論點如何運動，平面平面；
（ⅱ）當點是弧的中點時，求四稜錐與圓柱的體積比．
【變式四】如圖，四邊形abcd為矩形，ad⊥平面abe，ae＝eb＝bc＝2，
為上的點，且bf⊥平面ace．
（1）求證：ae⊥be；
（2）設m**段ab上，且滿足am＝2mb，試**段ce上確定一點n，使得mn∥平面dae.
【變式五】如圖5所示，在三稜錐中，平面，
，為的中點，四點、、、都在球的球面上。
（1）證明：平面平面；（2）證明：線段的中點為球的球心；
（三）練習鞏固：
1、如圖，直三稜柱中，ac=bc,m是a1b1的中點．求證c1m平面；
2、在正四稜柱中，ab=1，.
(1) 求與所成角的余弦值;
(2) 證明：；
3、在四稜錐中，底面是邊長為a的正方形，側稜，.
（1）求證：；
（2） 求證：；
（3）求pa與底面所成角的大小；
4、如圖，bc⊥平面pab，ae⊥pb，af⊥pc,pa=ab=bc=2，pa⊥面abc，
（1）求證：平面aef⊥平面pbc；（2）求二面角p—bc—a的大小；
（3）求三稜錐p—aef的體積.
四、課後練習
1．如圖所示，在直三稜柱abc—a1b1c1中，ab=bb1，ac1⊥平面a1bd，d為ac的中點。
（i）求證：b1c//平面a1bd；
（ii）求證：b1c1⊥平面abb1a
（iii）設e是cc1上一點，試確定e的位置，使平面a1bd⊥平面bde，並說明理由。
2.如圖，已知平面，平面，三角形
為等邊三角形，，為的中點
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
3.如圖，四稜錐中，底面，
，，，，
是的中點．
（1）求證：；
（2）求證：面．
4.如圖，四稜錐p—abcd中，pa⊥平面abcd，pa=ab，底面abcd為直角梯形，∠abc=∠bad=90°，pa=bc=
（i）求證：平面pac⊥平面pcd；
（ii）在稜pd上是否存在一點e，使ce∥平面pab？若
存在，請確定e點的位置；若不存在，請說明理由.
5.如圖，在四稜錐中，，，底面是菱形，且，為的中點．
（1）證明：平面；
（2）側稜上是否存在點，使得平面？並證明你的結論．
第3講直線、平面平行的判定及其性質
基礎梳理
1．平面與平面的位置關係有相交、平行兩種情況．
2．直線和平面平行的判定
(1)定義：直線和平面沒有公共點，則稱直線平行於平面；
(2)判定定理：aα，bα，且a∥ba∥α；
(3)其他判定方法：α∥β；aαa∥β.
3．直線和平面平行的性質定理：a∥α，aβ，α∩β＝la∥l.
4．兩個平面平行的判定
(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行；
(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝m，a∥β，b∥βα∥β；
(3)推論：a∩b＝m，a，bα，a′∩b′＝m′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′α∥β.
5．兩個平面平行的性質定理
(1)α∥β，aαa∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝ba∥b.
6．與垂直相關的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥αa∥b；
(2)a⊥α，a⊥βα∥β.
乙個關係
平行問題的轉化關係：
兩個防範
(1)在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則，會出現錯誤．
(2)把線面平行轉化為線線平行時，必須說清經過已知直線的平面與已知平面相交，則直線與交線平行．
雙基自測
1．(人教a版教材習題改編)下面命題中正確的是( )．
①若乙個平面內有兩條直線與另乙個平面平行，則這兩個平面平行；
②若乙個平面內有無數條直線與另乙個平面平行，則這兩個平面平行；
③若乙個平面內任何一條直線都平行於另乙個平面，則這兩個平面平行；
④若乙個平面內的兩條相交直線分別與另乙個平面平行，則這兩個平面平行．
a．①③ b．②④ c．②③④ d．③④
解析 ①②中兩個平面可以相交，③是兩個平面平行的定義，④是兩個平面平行的判定定理．
答案 d
2．平面α∥平面β，aα，bβ，則直線a，b的位置關係是( )．
a．平行 b．相交
c．異面 d．平行或異面
答案 d
3．(2012·銀川質檢)在空間中，下列命題正確的是( )．
a．若a∥α，b∥a，則b∥α
b．若a∥α，b∥α，aβ，bβ，則β∥α
c．若α∥β，b∥α，則b∥β
d．若α∥β，aα，則a∥β
解析若a∥α，b∥a，則b∥α或bα，故a錯誤；由麵麵平行的判定定理知，b錯誤；若α∥β，b∥α，則b∥β或bβ，故c錯誤．
答案 d
4．(2012·溫州模擬)已知m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是( )．
a．m∥n，m⊥αn⊥α
b．α∥β，mα，nβm∥n
c．m⊥α，m⊥nn∥α
d．mα，nα，m∥β，n∥βα∥β
解析選項a中，如圖①，n∥m，m⊥αn⊥α一定成立，a正確；選項b中，如圖②，α∥β，mα，nβm與n互為異面直線，∴b不正確；選項c中，如圖③，m⊥α，m⊥nnα，∴c不正確；選項d中，如圖④，mα，nα，m∥β，n∥βα與β相交，∴d不正確.
答案 a
5．(2012·衡陽質檢)在正方體abcda1b1c1d1中，e是dd1的中點，則bd1與平面ace的位置關係為________．
解析如圖．
連線ac、bd交於o點，鏈結oe，因為oe∥bd1，而oe平面ace，bd1平面ace，所以bd1∥平面ace.
答案平行
考向一直線與平面平行的判定與性質
【例1】(2011·天津改編)如圖，
在四稜錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，o為ac的中點，m為pd的中點．
求證：pb∥平面acm.
[審題視點] 連線mo，證明pb∥mo即可．
證明連線bd，mo.在平行四邊形abcd中，因為o為ac的中點，所以o為bd的中點．又m為pd的中點，所以pb∥mo.因為pb平面acm，mo平面acm，所以pb∥平面acm.
利用判定定理時關鍵是找平面內與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線．
【訓練1】 如圖，若
pa⊥平面abcd，四邊形abcd是矩形，e、f分別是ab、pd的中點，求證：af∥平面pce.
證明取pc的中點m，連線me、mf，
則fm∥cd且fm＝cd.
又∵ae∥cd且ae＝cd，
∴fm繡ae，即四邊形afme是平行四邊形．
∴af∥me，又∵af平面pce，em平面pce，
∴af∥平面pce.
考向二平面與平面平行的判定與性質
【例2】如圖，
在正方體abcda1b1c1d1中，m、n、p分別為所在邊的中點．
求證：平面mnp∥平面a1c1b；
[審題視點] 證明mn∥a1b，
mp∥c1b.
證明連線d1c，則mn為△dd1c的中位線，
∴mn∥d1c.
又∵d1c∥a1b，∴mn∥a1b.同理，mp∥c1b.
而mn與mp相交，mn，mp在平面mnp內，a1b，c1b在平面a1c1b內．∴平面mnp∥平面a1c1b.
證明面面平行的方法有：
(1)面面平行的定義；
(2)面面平行的判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行；
(3)利用垂直於同一條直線的兩個平面平行；
(4)兩個平面同時平行於第三個平面，那麼這兩個平面平行；
(5)利用「線線平行」、「線面平行」、「面面平行」的相互轉化．
【訓練2】 如圖，
在三稜柱abca1b1c1中，e，f，g，h分別是ab，ac，a1b1，a1c1的中點，求證：
(1)b，c，h，g四點共面；
(2)平面efa1∥平面bchg.
證明 (1)∵gh是△a1b1c1的中位線，∴gh∥b1c1.
又∵b1c1∥bc，∴gh∥bc，
∴b，c，h，g四點共面．
(2)∵e、f分別為ab、ac的中點，∴ef∥bc，
∵ef平面bchg，bc平面bchg，
∴ef∥平面bchg.
∵a1g繡eb，∴四邊形a1ebg是平行四邊形，
∴a1e∥gb.∵a1e平面bchg，gb平面bchg.
∴a1e∥平面bchg.
∵a1e∩ef＝e，∴平面efa1∥平面bchg.
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