平行垂直關係的證明
1．平行關係的證明
例1：如圖，，，，分別是正方體的稜，，，的中點．
求證：（1）平面；
（2）平面平面．
2．垂直關係的證明
例2：如圖，在三稜柱中，側稜底面，為稜的中點．，，．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在稜上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存
在，請說明理由．
一、單選題
1．平面外有兩條直線和，如果和在平面內的射影分別是和，給出下列四個命題：
①；②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合；其中不正確的命題個數是（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
2．已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
a．若，，且，則
b．若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則
c．若，，則
d．若，，則
3．給出下列四種說法：
①若平面，直線，則；
②若直線，直線，直線，則；
③若平面，直線，則；
④若直線，，則．其中正確說法的個數為（ ）
a．4個 b．3個 c．2個 d．1個
4．已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的有（ ）
（1），，，
（2），
（3），，
（4），
a．0個 b．1個 c．2個 d．3
5．如圖，在正方體中，分別是的中點，則下列命題正確的是（ ）
a． b．
c． d．
6．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
a．若垂直於同一平面，則平行
b．若平行於同一平面，則平行
c．若不平行，則在內不存在與平行的直線
d．若不平行，則不可能垂直於同一平面
7．已知是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若是異面直線，，則．其中真命題是（ ）
a．①和② b．①和③ c．③和④ d．①和④
8．如圖，正方體的稜長為1，線段上有兩個動點，且；則下列結論錯誤的是（ ）．
a． b．
c．三稜錐的體積為定值 d．的面積與的面積相等
9．如圖所示，是圓的直徑，垂直於圓所在的平面，點是圓周上不同於的任意一點，分別為的中點，則下列結論正確的是（ ）
a． b．與所成的角為
c．平面 d．平面平面
10．如圖，在三稜柱中，側稜底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是（ ）
a．與是異面直線 b．平面
c．，為異面直線且 d．平面
11．設分別是正方體的稜上兩點，且，給出下列四個命題：
①三稜錐的體積為定值；②異面直線與所成的角為；③平面；④直線與平面所成的角為．其中正確的命題為（ ）
a．①② b．②③ c．①②④ d．①④
12．如下圖，梯形中，，，將沿對角線折起．設折起後點的位置為，並且平面平面．給出下面四個命題：
①；②三稜錐的體積為；③平面；
④平面平面．其中正確命題的序號是（ ）
a．①② b．③④ c．①③ d．②④
二、填空題
13．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是填序號)
①若，，則；②若，，則；
③若，，則；④若，，則．
14．乙個正方體紙盒展開後如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論
①；②與所成的角為；③與是異面直線；④．
以上四個命題中，正確命題的序號是
15．若四面體的三組對稜分別相等，即，給出下列結論：
①四面體每組對稜相互垂直；
②四面體每個面的面積相等；
③從四面體每個頂點出發的三條稜兩兩夾角之和大而小於；
④連線四面體每組對稜中點的線段相互垂直平分．
其中正確結論的序號是寫出所有正確結論的序號）
16．如圖，一張矩形白紙，，，分別為的中點，現分別將，沿折起，且在平面同側，下列命題正確的是寫出所有正確命題的序號）．
①當平面平面時，平面
②當平面平面時，
③當重合於點時，
④當重合於點時，三稜錐的外接球的表面積為
三、解答題
17．如圖，四稜錐中，，，，為正三角形．
且．（1）證明：平面平面；
（2）若點到底面的距離為2，是線段上一點，且平面，求四面體的體積．
18．如圖，四邊形為正方形，平面，，，，．
（1）求證：；
（2）若點**段上，且滿足，求證：平面；
（3）求證：平面．
答案1．平行關係的證明
例1：如圖，，，，分別是正方體的稜，，，的中點．
求證：（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】證明（1）如圖，取的中點，連線，，
因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，
因為平面，平面，所以平面．
（2）由題意可知．連線，，
因為，所以四邊形是平行四邊形，故
又，，所以平面平面．
2．垂直關係的證明
例2：如圖，在三稜柱中，側稜底面，為稜的中點．，，．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在稜上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）存在，．
【解析】（1）證明：連線與，兩線交於點，連線．
在中，∵，分別為，的中點，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）證明：∵側稜底面，平面，∴，
又∵為稜的中點，，∴．
∵，，平面，∴平面，∴
∵，∴．又∵，∴在和中，，
∴，即，∴
∵，，平面，∴平面．
（3）解：當點為的中點，即時，平面平面
證明如下：
設的中點為，連線，，∵，分別為，的中點，∴，
且．又∵為的中點，∴，且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，∴平面．又∵平面，
∴平面平面．
一、單選題
1．平面外有兩條直線和，如果和在平面內的射影分別是和，給出下列四個命題：①；②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合；其中不正確的命題個數是（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
【答案】d
【解析】結合題意逐一分析所給的四個說法，在如圖所示的正方體中：
對於說法①：若取平面為，，分別為，，分別為，
滿足，但是不滿足，該說法錯誤；對於說法②：若取平面為，，分別為，分別為，滿足，但是不滿足，
該說法錯誤；對於說法③：若取平面為，，分別為，分別為，
滿足與相交，但是與異面，該說法錯誤；對於說法④：若取平面為，
、分別為，、分別為，滿足與平行，
但是與異面，該說法錯誤；綜上可得：不正確的命題個數是4．本題選擇d選項．
2．已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
a．若，，且，則
b．若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則
c．若，，則
d．若，，則
【答案】d
【解析】對於選項a，若，，且，則l不一定垂直平面，∵有可能和平行，
∴該選項錯誤；
對於選項b，若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則、可能相交或平行，∴該選項錯誤；
對於選項c，若，則有可能在平面內，∴該選項錯誤；
對於選項d，由於兩平行線中有一條垂直平面，則另一條也垂直平面，∴該選項正確，故答案為d．
3．給出下列四種說法：
①若平面，直線，則；
②若直線，直線，直線，則；
③若平面，直線，則；
④若直線，，則．其中正確說法的個數為（ ）
a．4個 b．3個 c．2個 d．1個
【答案】d
【解析】若平面，直線，則可異面；
若直線，直線，直線，則可相交，此時平行兩平面的交線；
若直線，，則可相交，此時平行兩平面的交線；
若平面，直線，則無交點，即；故選d．
4．已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題中正確的有（ ）
（1），，，
（2），
（3），，（4），
a．0個 b．1個 c．2個 d．3
【答案】b
【解析】由，，，，若相交，則可得，若，則與可能平行也可能相交，故（1）錯誤；
若，根據線面垂直的第二判定定理可得，故（2）正確；
若，，，則或異面，故（3）錯誤；
若，，則或，故（4）錯誤；故選b．
5．如圖，在正方體中，分別是的中點，則下列命題正確的是（ ）
a． b．
c． d．
【答案】c
【解析】a：和是異面直線，故選項不正確；
b：和是異面直線，故選項不正確；
c：記．∵正方體中，分別是的中點，
∴，，∴為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
d：由c知，而面和面相交，故選項不正確；故選c．
6．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
a．若垂直於同一平面，則平行
b．若平行於同一平面，則平行
c．若不平行，則在內不存在與平行的直線
d．若不平行，則不可能垂直於同一平面
【答案】d
【解析】垂直於同一平面的兩平面相交或平行，a不正確；
平行於同一平面的兩直線可相交、平行或異面，b不正確；
平面不平行即相交，在乙個平面內平行兩平面交線的直線與另一平面平行，c不正確；
d為直線與平面垂直性質定理的逆否命題，故d正確．故選d．
7．已知是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若是異面直線，，則．其中真命題是（ ）
a．①和② b．①和③ c．③和④ d．①和④
【答案】d
【解析】逐一考查所給的命題：
①由線面垂直的性質定理可得若，則，命題正確；
②如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，
滿足，但是不滿足，命題錯誤；
③如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，
直線分別為，滿足，但是不滿足，命題錯誤；
④若是異面直線，，由麵麵平行的性質定理易知，命題正確；
綜上可得，真命題是①和④，本題選擇d選項．
8．如圖，正方體的稜長為1，線段上有兩個動點，且；則下列結論錯誤的是（ ）．
a． b．
c．三稜錐的體積為定值 d．的面積與的面積相等
【答案】d
【解析】在正方體中，平面，
而平面，故，故a正確．
又平面，因此平面，故b正確．
當變化時，三角形的面積不變，點到平面的距離就是到平面的距離，它是乙個定值，故三稜錐的體積為定值（此時可看成三稜錐的體積），故c正確．
在正方體中，點到的距離為，而到的距離為1，d是錯誤的，故選d．
9．如圖所示，是圓的直徑，垂直於圓所在的平面，點是圓周上不同於的任意一點，分別為的中點，則下列結論正確的是（ ）
a． b．與所成的角為
c．平面 d．平面平面
【答案】d
【解析】對於a項，與異面，故a項錯；
對於b項，可證平面，故，∴所成的角為，因此b項錯；
對於c項，與不垂直，∴不可能垂直平面，故c項錯；
對於d項，由於，平面，平面，∴，
∵，∴平面，平面，∴平面平面，故選d．
10．如圖，在三稜柱中，側稜底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是（ ）
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