平行關係
一、基礎檢測
1、線面平行的判定定理
2、線面平行的性質定理
3、面面平行的判定定理
4、面面平行的性質定理
二、題型總結
題型一、對平行關係的理解
例1.判斷下列給出的各種說法是否正確？
(1)如果直線a和平面α不相交，那麼a∥α；
(2)如果直線a∥平面α，直線b∥a，那麼b∥α；
(3)如果直線a∥平面α，那麼經過直線a的平面β∥α；
(4)如果平面α內的兩條相交直線a和b與平面β內的兩條相交直線a′和b′分別平行，那麼α∥β.
變式一1．下列敘述中，正確的是( )．
a．若直線l平行於平面α內的無數條直線，則l∥α
b．若直線a在平面α外，則a∥α
c．若直線a∥b，直線bα，則a∥α
d．若直線a∥b，bα，那麼直線a平行於平面α內的無數條直線
2．兩個平面平行的條件是( )．
a．乙個平面內的一條直線平行於另一平面
b．乙個平面內有兩條直線平行於另一平面
c．乙個平面內有無數條直線平行於另乙個平面
d．乙個平面內任何一條直線平行於另乙個平面
題型二、直線與平面平行的判定
例2.如右圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，m∈ad1，n∈bd，且d1m=dn，
求證：mn∥平面cc1d1d．
變式二1． 如圖，p是平行四邊形abcd所在平面外一點，q是pa的中點，
求證：pc∥平面bdq.
2．如圖所示，在四稜錐s－abcd中，底面abcd為平行四邊形，e，f分別為ab，sc的中點．
求證：ef∥平面sad．
題型三、平面與平面平行的判定
例3.如圖，已知四稜錐p－abcd中，底面abcd為平行四邊形，點m，n，q分別在pa，bd，pd上，且pm∶ma=bn∶nd=pq∶qd．
求證：平面mnq∥平面pbc．
變式三：如圖，在稜長為a的正方體abcd－a1b1c1d1中，e，f，g分別是cb，cd，cc1的中點．
求證：平面ab1d1∥平面efg.
[**三、鞏固性訓練
1．若乙個平面內的兩條直線分別平行於另乙個平面內的兩條直線，則這兩個平面的位置關係是( )．
a．一定平行 b．一定相交
c．平行或相交 d．以上都不對
2．a，b是不在直線l上的兩點，則過點a，b且與直線l平行的平面的個數是( )．
a．0b．1
c．無數
d．以上三種情況均有可能
3．梯形abcd中，ab∥cd，abα，cdα，則直線cd與平面α的位置關係是
4．如圖，在四稜錐p－abcd中，底面abcd是矩形，e，f分別是pb，pc的中點．證明ef∥平面pad．
5．如圖所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，m，n，e，f分別是稜a1b1，a1d1，b1c1，c1d1的中點．求證：平面amn∥平面efdb．
答案：例1 思路分析：按照線面平行、面面平行的定義及判定定理對每個命題進行分析判斷，得出其是否正確．
解：(1)不正確．當直線a和平面α不相交時，可能有aα，不一定有a∥α；
(2)不正確．當直線b∥a時，如果bα，則有b∥α，如果bα，則沒有b∥α；
(3)不正確．當a∥α時，經過直線a的平面β可能與α平行，也可能與α相交；
(4)正確．由線面平行的判定定理，知a∥β，b∥β，且a，bα，a與b相交，所以必有α∥β.
變式一 1．d 解析：當a∥b，bα時，不論a∥α還是aα，a都平行於平面α內的無數條直線，故選項d正確．
2．d 解析：因乙個平面內任何一條直線平行於另乙個平面，可在這個平面內選兩條相交直線，則這兩條相交直線都與另一平面平行，由平面與平面平行的判定定理可得兩個平面平行．
例2 思路分析：要證mn∥平面cc1d1d，只需證明mn平行於平面cc1d1d中的一條直線即可．
證明：方法一：連線an並延長，交直線cd於e，連線d1e.
∵ab∥cd，∴＝＝.∵bd＝ad1，且d1m＝dn，
∴＝.在△ad1e中，mn∥d1e，又mn平面cc1d1d，d1e平面cc1d1d，
∴mn∥平面cc1d1d.
方法二：過點m作mp∥ad，交dd1於p，
過點n作nq∥ad交cd於點q，連線pq，
則mp∥nq，在△d1ad中，＝.
∵nq∥ad，ad∥bc，
∴nq∥bc.
在△dbc中，＝，
∵d1m＝dn，d1a＝db，ad＝bc，∴nq＝mp.
∴四邊形mnqp為平行四邊形，
則mn∥pq.
而mn平面cc1d1d，pq平面cc1d1d，
∴mn∥平面cc1d1d.
變式二 1．證明：連線ac交bd於o，連線qo.
∵四邊形abcd是平行四邊形，∴o為ac的中點．
又q為pa的中點，∴qo∥pc.顯然qo平面bdq，pc平面bdq，
∴pc∥平面bdq.
2．證明：作fg∥dc交sd於點g，則g為sd的中點．
連線ag，fgcd，
又cdab，且e為ab的中點，
故fgae，四邊形aefg為平行四邊形．∴ef∥ag.
又∵ag平面sad，ef平面sad，∴ef∥平面sad.
例3 思路分析：在平面mnq內找到兩條相交直線與平面pbc平行，條件中給出了線段比相等，故可利用平行線截線段成比例的性質證得線線平行，再轉化為線面平行，然後根據面面平行的判定定理證明．
證明：在△pad中，∵pm∶ma＝pq∶qd，∴mq∥ad.[**
又∵ad∥bc，∴mq∥bc.∵mq平面pbc，bc平面pbc，∴mq∥平面pbc.
在△pbd中，
∵bn∶nd＝pq∶qd，∴nq∥pb.∵nq平面pbc，pb平面pbc，∴nq∥平面pbc.
∵mq∩nq＝q，∴平面mnq∥平面pbc.
變式三證明：在正方體abcd－a1b1c1d1中，連線bd，
∵dd1∥b1b，dd1＝b1b，[**:z*xx*
∴四邊形dd1b1b為平行四邊形，∴d1b1∥db.
∵e，f分別為bc，cd的中點，
∴ef∥bd，∴ef∥d1b1.
∵ef平面efg，d1b1平面efg，∴d1b1∥平面efg.
同理ab1∥平面efg.
∵d1b1∩ab1＝b1，∴平面ab1d1∥平面efg.
三、鞏固性訓練
1．c 2．d 3．平行
4．證明：在△pbc中，∵e，f分別是pb，pc的中點，
∴ef∥bc.
∵四邊形abcd為矩形，
∴bc∥ad，∴ef∥ad.
又∵ad平面pad，ef平面pad，∴ef∥平面pad.
5．證明：如圖所示，連線mf.
∵m，f分別是a1b1，c1d1的中點，且四邊形a1b1c1d1為正方形，
∴mf∥a1d1，且mf＝a1d1.
又∵a1d1＝ad，且ad∥a1d1，
∴mf＝ad，且mf∥ad.
∴四邊形amfd是平行四邊形，
∴am∥df.
又df平面efdb，am平面efdb，∴am∥平面efdb.
同理可證，an∥平面efdb.
又an，am平面amn，am∩an＝a，∴平面amn∥平面efdb.
5.2 平行關係的性質
問題導學
1．直線與平面平行的性質
活動與**1
如圖，已知四邊形abcd是平行四邊形，點p是平面abcd外一點，m是pc的中點，在dm上取一點g，過g和ap作平面交平面bdm於gh.
求證：ap∥gh.
遷移與應用
1．如圖，e，h分別是三稜錐a－bcd的稜ab，ad的中點，平面α過eh分別交bc，cd於點f，g.求證：eh∥fg.
2．如圖，ab∥α，cd∥α，ab與cd在平面α兩側且ab與cd不平行，ac，bd分別交α於m，n兩點．
求證：am∶mc＝bn∶nd．
線、面平行的性質定理是證明空間兩直線平行的重要依據，解題時要注意把握．當證明了直線平行於平面後，再過該直線作平面與已知平面相交，得交線與已知直線平行．具體方法如下：線、線平行線、面平行線、線平行．
2．平面與平面平行的性質
活動與**2
如圖，已知α∥β，點p是平面α，β外的一點(不在α與β之間)，直線pb，pd分別與α，β相交於點a，b和c，d．
(1)求證：ac∥bd；
(2)已知pa＝4 cm，ab＝5 cm，pc＝3 cm，求pd的長．
遷移與應用
1．設平面α∥平面β，直線aα，點b∈β，則在β內過點b的所有直線中( )．
a．不一定存在與a平行的直線
b．只有兩條與a平行的直線
c．存在無數條與a平行的直線
d．存在唯一一條與a平行的直線
2．如圖，α∥β，ab交α，β於點a，b，cd交α，β於點c，d，ab∩cd＝o，o在兩平面之間，ao＝5，bo＝8，co＝6.求cd．
利用面面平行的性質定理證明線線平行的基本步驟：
(1)先找兩個平面，使這兩個平面分別經過這兩條直線中的一條；
(2)判定這兩個平面平行；
(3)再找乙個平面，使這兩條直線都在這個平面上；
(4)由定理得出結論．
3．用麵麵平行證線面平行
活動與**3
如圖，在四稜錐o－abcd中，底面abcd是邊長為1的菱形，m為oa的中點，n為bc的中點，證明：直線mn∥平面ocd．
遷移與應用
如圖，直四稜柱abcd－a1b1c1d1的底面是梯形，ab∥cd，ad⊥dc，cd＝2，dd1＝ab＝1，p，q分別是cc1，c1d1的中點．
求證：ac∥平面bpq.
因為兩個平行平面沒有公共點，所以當兩個平面平行時，其中乙個平面內的任何一條直線必與另乙個平面無公共點，所以可得線面平行關係．
4．平行關係的綜合應用
活動與**4
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