高中數學專題複習講座關於求空間的角的問題
例1在稜長為a的正方體abcd—a′b′c′d′中，
e、f分別是bc、a′d′的中點
(1)求證四邊形b′edf是菱形；
(2)求直線a′c與de所成的角；
(3)求直線ad與平面b′edf所成的角；
(4)求面b′edf與面abcd所成的角
(1)證明如上圖所示，由勾股定理，得b′e=ed=df=fb′=a,下證b′、e、d、f四點共面，取ad中點g，鏈結a′g、eg，由egaba′b′知，b′ega′是平行四邊形
∴b′e∥a′g,又a′f dg,∴a′gdf為平行四邊形
∴a′g∥fd，∴b′、e、d、f四點共面
故四邊形b′edf是菱形
(2)解如圖所示，在平面abcd內，過c作cp∥de，交直線ad於p，則∠a′cp(或補角)為異面直線a′c與de所成的角
在△a′cp中，
易得a′c=a，cp=de=a,a′p=a
由餘弦定理得cosa′cp=
故a′c與de所成角為arccos
另法（向量法） 如圖建立座標系，則
故a′c與de所成角為arccos
(3)解 ∵∠ade=∠adf,∴ad在平面b′edf內的射影在∠edf的平分線上如下圖所示
又∵b′edf為菱形，∴db′為∠edf的平分線，
故直線ad與平面b′edf所成的角為∠adb′
在rt△b′ad中，ad=a，ab′=a,b′d=a
則cosadb′=
故ad與平面b′edf所成的角是arccos
另法（向量法）
∵∠ade=∠adf,∴ad在平面b′edf內的射影在∠edf的平分線上如下圖所示
又∵b′edf為菱形，∴db′為∠edf的平分線，
故直線ad與平面b′edf所成的角為∠adb′，
如圖建立座標系，則
，故ad與平面b′edf所成的角是arccos
(4)解如圖，鏈結ef、b′d，交於o點，顯然o為b′d的中點，從而o為正方形abcd—a′b′c′d的中心
作oh⊥平面abcd，則h為正方形abcd的中心，
再作hm⊥de，垂足為m，鏈結om，則om⊥de，
故∠omh為二面角b′—de′—a的平面角
在rt△doe中，oe=a,od=a,斜邊de=a,
則由面積關係得om=a
在rt△ohm中，sinomh=
故面b′edf與面abcd所成的角為arcsin
另法（向量法） 如圖建立座標系，則
，所以面abcd的法向量為
下面求面b′edf的法向量
設，由∴
∴ 故面b′edf與面abcd所成的角為
例2如下圖，已知平行六面體abcd—a1b1c1d1中，底面abcd是邊長為a的正方形，側稜aa1長為b,且aa1與ab、ad的夾角都是120°
求 (1)ac1的長；
(2)直線bd1與ac所成的角的余弦值
∴bd1與ac所成角的余弦值為
例3如圖，為60°的二面角，等腰直角
三角形mpn的直角頂點p在l上，m∈α,n∈β,
且mp與β所成的角等於np與α所成的角
(1)求證 mn分別與α、β所成角相等；
(2)求mn與β所成角
(1)證明作na⊥α於a，mb⊥β於b,連線ap、pb、bn、am，再作ac⊥l於c，bd⊥l於d，連線nc、md
∵na⊥α,mb⊥β,∴∠mpb、∠npa分別是mp與β所成角及np與α所成角，∠mnb，∠nma分別是mn與β,α所成角，∴∠mpb=∠npa
在rt△mpb與rt△npa中，pm=pn，∠mpb=∠npa，∴△mpb≌△npa，∴mb=na
在rt△mnb與rt△nma中，mb=na，mn是公共邊，∴△mnb≌△nma，∴∠mnb=∠nma，即(1)結論成立
(2)解設∠mnb=θ,mn=a,則pb=pn=a,mb=na=asinθ，nb=acosθ ,∵mb⊥β,bd⊥l,∴md⊥l,∴∠mdb是二面角α—l—β的平面角，
∴∠mdb=60°，同理∠nca=60°,
∴bd=ac=asinθ,cn=dm=asinθ,
∵mb⊥β，mp⊥pn，∴bp⊥pn
∵∠bpn=90°,∠dpb=∠cnp,∴△bpd∽△pnc,∴
整理得，16sin4θ－16sin2θ+3=0
解得sin2θ=,sinθ=，
當sinθ=時，cn=asinθ= a＞pn不合理，捨去
∴sinθ=,∴mn與β所成角為30°
另法（向量法） 如圖設的法向量為，的法向量為，模均為1，由題意，，
設，則，，，
且所以＝
或＝－所以，mn分別與α、β所成角相等
學生鞏固練習
1 在正方體abcd—a1b1c1d1中，m為dd1的中點，o為底面abcd的中心，p為稜a1b1上任意一點，則直線op與直線am所成的角是( )
abcd
2 設△abc和△dbc所在兩平面互相垂直，且ab=bc=bd=a,∠cba=∠cbd=120°,則ad與平面bcd所成的角為( )
a 30b 45c 60d 75°
3 已知∠aob=90°,過o點引∠aob所在平面的斜線oc，與oa、ob分別成45°、60°，則以oc為稜的二面角a—oc—b的余弦值等於______
4 正三稜錐的乙個側面的面積與底面積之比為2∶3,則這個三稜錐的側面和底面所成二面角的度數為
5 已知四邊形abcd為直角梯形，ad∥bc，∠abc=90°,pa
⊥平面ac，且pa=ad=ab=1,bc=2
(1)求pc的長；
(2)求異面直線pc與bd所成角的余弦值的大小；
(3)求證二面角b—pc—d為直二面角
6 設△abc和△dbc所在的兩個平面互相垂直，且ab=bc=bd，∠abc=∠dbc=120°，求
(1)直線ad與平面bcd所成角的大小；
(2)異面直線ad與bc所成的角；
(3)二面角a—bd—c的大小
7一副三角板拼成乙個四邊形abcd，
如圖，然後將它沿bc折成直二面角
(1)求證平面abd⊥平面acd；
(2)求ad與bc所成的角；
(3)求二面角a—bd—c的大小
[參***]
1 解析 (特殊位置法）將p點取為a1，作oe⊥ad於e，鏈結a1e，則a1e為oa1的射影，又am⊥a1e，∴am⊥oa1，即am與op成90°角
答案 d
2 解析作ao⊥cb的延長線，連od，則od即為ad在平面bcd上的射影，
∵ao=od=a,∴∠ado=45°
答案 b
3 解析在oc上取一點c，使oc=1，過c分別作ca⊥oc交oa於a，cb⊥oc交ob於b，則ac=1，，oa=，bc=，ob=2，rt△aob中，ab2=6，△abc中，由餘弦定理，得cosacb=－
答案 －
4 解析設乙個側面面積為s1，底面面積為s，則這個側面在底面上射影的面積為，由題設得，設側面與底面所成二面角為θ,則cosθ=,∴θ=60°
答案 60°
5 (1)解因為pa⊥平面ac，ab⊥bc,∴pb⊥bc,即∠pbc=90°,由勾股定理得pb=
∴pc=
(2)解如圖，過點c作ce∥bd交ad的延長線於e，鏈結pe，則pc與bd所成的角為∠pce或它的補角
∵ce=bd=，且pe=
∴由餘弦定理得
cospce=
∴pc與bd所成角的余弦值為
(3）證明設pb、pc中點分別為g、f，鏈結fg、ag、df，
則gf∥bc∥ad，且gf=bc=1=ad，
從而四邊形adfg為平行四邊形，
又ad⊥平面pab，∴ad⊥ag，
即adfg為矩形，df⊥fg
在△pcd中，pd=，cd=，f為bc中點，
∴df⊥pc
從而df⊥平面pbc，故平面pdc⊥平面pbc，
即二面角b—pc—d為直二面角
另法（向量法） (略)
6 解 (1)如圖，在平面abc內，過a作ah⊥bc，垂足為h，則ah⊥平面dbc，
∴∠adh即為直線ad與平面bcd所成的角
由題設知△ahb≌△ahd，則dh⊥bh，ah=dh，
∴∠adh=45°
(2)∵bc⊥dh，且dh為ad在平面bcd上的
射影，∴bc⊥ad，故ad與bc所成的角為90°
(3)過h作hr⊥bd，垂足為r，鏈結ar，則
由三垂線定理知，ar⊥bd，故∠arh為二面角a—bd—c的平面角的補角設bc=a,則由題設知，ah=dh=,在△hdb中，hr=a，∴tanarh==2
故二面角a—bd—c大小為π－arctan2
另法（向量法） (略)
7 (1)證明取bc中點e，鏈結ae，∵ab=ac，∴ae⊥bc
∵平面abc⊥平面bcd，∴ae⊥平面bcd，
∵bc⊥cd，由三垂線定理知ab⊥cd
又∵ab⊥ac，∴ab⊥平面bcd，∵ab平面abd
∴平面abd⊥平面acd
(2)解在面bcd內，過d作df∥bc，過e作ef⊥df，交df於f，由三垂線定理知af⊥df，∠adf為ad與bc所成的角
設ab=m，則bc=m，ce=df=m,cd=ef=m
即ad與bc所成的角為arctan
(3)解 ∵ae⊥面bcd，過e作eg⊥bd於
g，鏈結ag，由三垂線定理知ag⊥bd，
∴∠age為二面角a—bd—c的平面角
∵∠ebg=30°，be=m,∴eg=m
又ae=m,∴tanage==2,∴∠age=arctan2
即二面角a—bd—c的大小為arctan2
另法（向量法） (略)
高中數學專題複習講座關於求空間距離的問題
例1把正方形abcd沿對角線ac折起成直二面角，點e、f分別是ad、bc的中點，點o是原正方形的中心，求
(1)ef的長；
(2)折起後∠eof的大小
解如圖，以o點為原點建立空間直角座標系o—xyz,
設正方形abcd邊長為a,
則a(0，－ a,0),b(a,0,0),c(0, a,0),
d(0,0, a),e(0,－a, a),f(a, a,0)
立體幾何中平行與垂直的證明
垂直與平行的問題 例1兩個全等的正方形abcd和abef所在平面相交於ab，m ac，n fb，且am fn，求證 mn 平面bce 證法一作mp bc，nq be，p q為垂足，則mp ab，nq ab mp nq，又am nf，ac bf，mc nb，mcp nbq 45 rt mcp rt n...
立體幾何平行與垂直證明
例 如圖，在稜長為 的正方體中，e f分別是稜的中點 求異面直線所成的角 ii 求和面efbd所成的角 求到面efbd的距離 如圖，在幾何體abcde中，abc是等腰直角三角形，abc 900，be和cd都垂直於平面abc，且be ab 2，cd 1，點f是ae的中點.求證 df 平面abc 求ab...
立體幾何 平行與垂直的證明
立體幾何 位置關係 1.設是直線，a，是兩個不同的平面 a.若 a，則ab.若 a，則a c.若a a，則d.若a a，則 2 設m.n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,a 若m n 則m n b 若m m 則 c 若m n,m 則n d 若m 則m 3.設為直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確...