一. 教學內容：
二. 重點、難點
1. 直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的判定方法及其性質，重要的定理(如三垂線定理及其逆定理等)的內容、證明的思想方法及其功能，在過一點作某直線或平面的垂線時其垂直落點的確定等無疑是重點內容；
2. 直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的互相轉化的思想方法，既是重點也是難點，有關與平面幾何知識相聯絡的一些內容是解決問題中的難點。
【典型例題】
例1. 如圖，已知平面α∥β∥γ，a，c∈α，b，d∈γ，異面直線ab和cd分別與β交於e和g，鏈結ad和bc分別交β於f，h．
(2)判斷四邊形efgh是哪一類四邊形；
(3)若ac=bd=a，求四邊形efgh的周長．
需經過分別與ab(或cd)共面的直線(例如ad)進行過渡，再利用平面幾何知識達到論證的目標。
(2)在(1)的基礎上，不難判斷efgh四邊形的型別。
(3)利用(1)、(2)的結果再進一步進行探索。
解： (1)由ab，ad確定的平面，與平行平面β和γ的交線分別為
(2)面cbd分別交β，γ於hg和bd．由於β∥γ，所以hg∥bd．同理eh∥ac．故efgh為平行四邊形。
評述此問題的最終解決都是利用平面幾何的有關知識進行的，這裡利用了輔助平面abd和adc 是關鍵所在，本題也是利用線面、面面、線線平行的互相轉化這一基本思想得到最後結果的．
例2. 正方形abcd和正方形abef所在平面互相垂直，點m，n分別在對角線ac和bf上，且am=fn 求證：mn∥平面bec
分析：證線面平行線線平行，需找出面bec中與mn平行的直線。
證明（一）：作nk∥ab交be於k，作mh∥ab交bc於h
∴mh∥nk
∵abcd與abef是兩個有公共邊ab的正方形
∴它們是全等正方形
∵am=fn ∴cm=bn
又∠hcm=∠kbn，∠hmc=∠knb
∴△hcm≌△kbn ∴mh=nk
∴mhkn是平行四邊形 ∴mn∥hk
∵hk 平面bec mn 平面bec
∴mn∥平面bec
證明（二）：分析：利用面面平行線面平行
過n作np∥be，連mp，∵np∥af
∴fn/fb=ap/ab
∵am=fn，ac=bf
∴fn/fb=am/ac ∴ap/ab=am/ac
∴mp∥bc ∴平面mnp∥平面bce
∴mn∥平面bce
解題中經常需要作互相平行的直線，為了使作直線的位置符合要求，構造成平行四邊形，利用平行四邊形對邊這一關係是作平行線的依據之一。
例3. 正方體abcd—a1b1c1d1中，mn是異面直線a1d與ac的公垂線段，求證：mn//bd1。
分析：由於mn⊥a1d且mn⊥ac聯想到線面平行的性質定理，只需證明mn⊥平面α，且bd1⊥平面α，為此在圖形中發現滿足該要求的平面α，由直覺猜測平面acb1，即是要找的α，再予以驗證即可，這似乎容易證明。
證明：鏈結ab1，cb1
由（1）（2）及線面垂直的性質定理，知mn//bd1。
［注］本題看似平行問題，但要利用線面垂直的判定，性質定理，說明了平行問題與垂直問題的緊密聯絡。
例4.如圖，已知平面且α∩β=m，求證m⊥γ．
分析：可用直接證法，即在γ內找出兩條直線，使之都與m垂直即可，由於已知α⊥γ，β⊥γ，這樣的直線是可以找到的；也可用間接證法，即用反證法或同一法均可以得到證明，這是因為兩個平面相交時，只有一條公共的直線．
作pa⊥a於a，pb⊥b於b，因為α⊥γ、β⊥γ，所以pa⊥α，pb⊥β，α∩β=m，故pa⊥m，pb⊥m，因此m⊥γ．
是m，故m⊥γ．
評述 ①證法一是通過m垂直於γ內兩相交直線來實施m⊥γ的結論；而證法二是用同一法進行證明．本題也可用反證法進行證明．
②本題是很容易證明的正確命題，而不是定理，因此在做解答題時，不能作為論證的依據而使用．
例5. 已知：a，b是兩條異面直線，a ，b ， ∩ =l，ab是a，b共垂線，交a於a，交b於b
求證：ab∥l
證明（一）：（利用線面垂直的性質定理）
過a作b1∥b，則a，b1可確定一平面γ
∵ab是異面垂線的公垂線，
即ab a，ab b
∴ab b1
∴ab γ
∵a α，b β， ∩ =l
∴l a，l b ∴l b1
∴l r ∴ab∥l
證明（二）：（利用同一平面內垂直於同一直線的兩條直線互相平行）。
∵ab是異面直線a，b的公垂線，過ab與a作平面γ，γ∩ =m
∵a ∴a m
又a ab，ab γ
∴m∥ab
又過ab作平面g，g∩β=n
同理：n∥ab
∴m∥n，於是有m∥β
又 ∩ =l ∴m∥l
∴ab∥l
例6. 如圖，已知abcd為矩形，pa⊥面abcd，m、n分別為ab和pc的中點。
(1)求證mn⊥cd；(2)若pa=ad，求證面mnd⊥面pdc．
分析：(1)顯然cd與mn 是異面直線，證明其垂直的途徑有二，其一是直接利用三垂線定理或其逆定理，其二是利用三垂線定理的證明方法，即通過線面垂直來證明線線垂直。
(2)證明面面垂直的基本方法就是證明乙個面經過另乙個面的一條垂線。由(1)已證明了mn⊥cd，只需再證明mn⊥pc即可。
(1)證法一：如圖，連ac，過n作no⊥ac於o，因為pa⊥面abcd，故pa⊥ac。因而pa∥no，所以no⊥面abcd。
且由n為pc中點知o為ac中點，即矩形abcd的中心，om為mn在面abcd內的射影。顯然om⊥ab，所以mn⊥ab(三垂線定理)，因為ab∥cd，所以mn⊥cd。
證法二：取dc的中點e。因為n是pc中點，所以ne∥pd。me∥ad。因此me⊥dc．又因為pa⊥面abcd，ad⊥dc。故pd
所以mn⊥dc．
(2)證法一：如圖，連pm，mc．由 pa=ad=bc，am=mb，pa⊥am，mb⊥bc，可知pm=mc．又由n為pc中點，知 mn⊥pc．由(1)mn⊥dc，所以mn⊥面pdc．因而面mnd⊥面pdc
pa=ad．得ae⊥pd．所以mn⊥pd．又因為mn⊥dc，所以mn⊥面pdc．因此面
mnd⊥面pdc。
評述 (1)的兩種證法恰好體現了用三垂線定理本身，和用三垂線定理的證明所給出的思想和方法；三垂線定理的主要功能就是用來判斷平面內的直線與該平面外的直線的垂直問題，而應用時，首先應作出面的垂線，才能得出斜線在麵內的射影．而三垂線定理的證明的基本思想就是通過線面垂直來證明線線垂直這一轉化思想．
(2)確定選取垂直於面pdc的直線是mn，而不是md，是因為mn⊥cd而md不垂直於cd．證法一是證明mn⊥pc，而證法二是證明mn⊥pd．
【疑難解析】
1. 通過本節課的複習，我們把立體幾何中判定「平行」、「垂直」的有關公理、定理的內容和它們的功能及其應用又熟悉了一遍．直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的互相轉化的思想方法，既是重點也是難點,線線、線面、麵麵的平行與垂直關係的轉化可以用下圖表示：
線面平行與垂直的關係也可以互相轉化，見下圖
2. 通過例題的分析，我們進一步掌握了立體幾何論證的規律，通常是通過線線、線面、麵麵的平行或垂直的相互轉化最終實現推理論證的結果．這些思想並非憑空而來，一些定理本身就揭示了這些規律．例如三垂線定理，我們知道它的功能主要就是解決平面內的直線與平面外的線(斜線)的垂直問題的，而定理的證明本身告訴我們證明兩直線垂直是通過線面垂直來實現的。因此我們不僅要知道定理是什麼，還應掌握定理是怎樣證明的，及從中揭示了哪些數學思想和思維規律．這是在我們學習過程中不可缺少的環節。
平行與垂直的問題在今後解決立體幾何的其它問題中有著廣泛的應用，在應用中還應進一步熟練與深化。
【模擬試題】
1. 求證：如果兩條平行線中的一條和乙個平面相交，那麼另一條也和這個平面相交。
2. 如果一條直線和兩個相交的平面都平行，那麼這條直線與這兩個平面的交線平行。
3. 已知平面α∥β，ab，cd為夾在α，β間的異面線段，e、f分別為ab，cd的中點．求證：ef∥α，ef∥β
4. 已知三個平面兩兩相交，有三條交線，判斷這三條交線的位置關係，並予以證明。
5. 在正方體abcd-a1b1c1d1中，m，e，f，n分別是a1b1，b1c1，c1d1，d1a1的中點。
求證：(1)e，f，b，d四點共面；
(2)平面amn∥平面efbd；
(3)求平面amn與平面efbd之間的距離。
6. 如圖，已知四面體abcd中，ae⊥面bcd於e，df⊥面abc於f．求證：ae與df相交的充要條件是ad⊥bc．
7.如圖，已知平面α內有∠aob，po是α的斜線，若
8.如圖，△abc為斜三角形，pa⊥面abc，a在面pbc內的射影為h，求證h不可能是△pbc的垂心。
9.如圖，已知△abc是邊長為a的正三角形，d，e分別為ac與bc的中點，pa⊥面abc
(1)過p，d作平面α，使得α∥直線ae；
(2)當pa=b時，求ae到面α的距離．
10. 如圖，已知abcd為矩形，pa⊥面abcd，ae⊥pb於e，ef⊥pc於f
(1)求證：af⊥pc；(2)設平面aef交pd於g，求證ag⊥pd
11. 如圖，已知abcd是邊長為a的菱形，其中∠abc=60°，pd⊥面abcd，且pd=a，e為pb的中點。
(1)求證面aec⊥面abcd；
(2)求e到面pad的距離
12. 如圖，已知abcd—a1b1c1d1是稜長為a的正方體，m，n分別為稜b1b和d1d的中點。(1)求證a，m，c1，n四點共面；(2)求a1到面amc1n的距離；(3)求d1到面amc1n的距離。
【試題答案】
1.已知：a∥b，a∩平面α＝a
求證：b和平面α相交
立體幾何平行與垂直證明
例 如圖，在稜長為 的正方體中，e f分別是稜的中點 求異面直線所成的角 ii 求和面efbd所成的角 求到面efbd的距離 如圖，在幾何體abcde中，abc是等腰直角三角形，abc 900，be和cd都垂直於平面abc，且be ab 2，cd 1，點f是ae的中點.求證 df 平面abc 求ab...
立體幾何與直線平行與垂直
三 解答題 10 如圖所示，在正方體abcd a1b1c1d1中，e f分別是稜b1c1 b1b的中點 求證 cf 平面eab 11 如圖所示，在四稜錐p abcd中，底面abcd是矩形，側稜pa垂直於底面，e f分別是ab，pc的中點，pa ad 求證 1 cd pd 2 ef 平面pcd 能力提...
立體幾何平行垂直關係的證明專題
平行垂直關係的證明 1 平行關係的證明 例1 如圖，分別是正方體的稜，的中點 求證 1 平面 2 平面平面 2 垂直關係的證明 例2 如圖，在三稜柱中，側稜底面，為稜的中點 1 求證 平面 2 求證 平面 3 在稜上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值 如果不存 在，請說明理由 一 單選題...