江蘇省建湖高階中學2014屆第一次熱身訓練
數學試題
一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題紙相應位置上．
1．設集合，，則 ▲ ．
2．複數（為虛數單位）在復平面上對應的點位於第 ▲ 象限．
3．函式的定義域為 ▲ ．
4．甲、乙兩個學習小組各有10名學生，他們在一次數學測驗中成績的莖葉圖如圖所示，則在這次測驗中成績較好的是 ▲ 組．
5．已知某演算法的偽**如圖所示，則可算得的值為 ▲ ．
6．乙個袋中裝有2只紅球、3只綠球，從中隨機抽取3只球，則恰有1只紅球的
概率是 ▲ ．
7．已知正三稜柱的底面邊長與側稜長相等．螞蟻甲從點沿表面經過稜，爬到點，螞蟻乙從點沿表面經過稜爬到點．如圖，設，，若兩隻螞蟻各自爬過的路程最短，則 ▲ ．
8．已知函式，則不等式的解集是 ▲ ．
9．若過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則實數的值為 ▲ ．
10．已知函式（，，是常數，
，）的部分圖象如圖所示．
若，，則 ▲ ．
11．設數列的前項和為，若和都是
公差為的等差數列，則 ▲ ．
12．已知平面向量，，滿足，，，
，則的最小值為 ▲ ．
13．已知， 是函式圖象上的兩個不同點，
且在，兩點處的切線互相平行，則的取值範圍為 ▲ ．
14．設等差數列的公差為，前項和為，且，，，
則的取值範圍是 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分14分）
在△中，內角，，的對邊分別為，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，求的面積的最大值．
16．（本小題滿分14分）
如圖，在梯形中，，，．平面平面，四邊形是矩形，，點**段上．
（1）求證：平面；
（2）當為何值時，平面？證明你的結論．
17．（本小題滿分14分）
第二屆夏季青奧會將於2023年8月在南京市舉辦．為營造優美的環境，舉辦方決定在某「葫蘆」形花壇中建噴泉．如圖，該花壇的邊界是兩個半徑為10公尺的圓弧圍成，兩圓心、之間的距離為公尺．
（1）如圖甲，在花壇中建矩形噴泉，四個頂點，，，均在圓弧上，於點．設，求矩形的寬為多少時，可使噴泉的面積最大；
（2）如圖乙，在花壇中間鋪設一條寬為2公尺的觀賞長廊以作休閒之用，則矩形噴泉變為兩個全等的等腰三角形，其中，公尺．若，求噴泉的面積的取值範圍．
18．（本小題滿分16分）
已知橢圓的左、右焦點分別為、，過作直線與橢圓交於點、．
（1）若橢圓的離心率為，右準線的方程為，為橢圓上頂點，直線交右準線於點，求的值；
（2）當時，設為橢圓上第一象限內的點，直線交軸於點，，證明：點在定直線上．
19．（本小題滿分16分）
在數列，中，已知，，且，，成等差數列，，，也成等差數列．
（1）求證：是等比數列；
（2）設是不超過100的正整數，求使成立的所有數對．
20．（本小題滿分16分）
已知函式，，．
（1）當，時，求函式的單調區間；
（2）當時，若對恆成立，求實數的取值範圍；
（3）設函式的圖象在點、兩處的切線分別為、．若，，且，求實數的最小值．
江蘇省建湖高階中學2014屆第一次熱身訓練
數學試題附加題
21.【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，並在答題紙指定區域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
a．選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）
在中，，是的平分線，的外接圓交邊於點．求證：．
b．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣的乙個特徵值及對應的乙個特徵向量．
（1）求的值；
（2）求曲線在對應的變換作用下的新曲線的方程．
c．選修4-4:座標系與引數方程（本小題滿分10分）
在平面直角座標系中，以座標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系．直線的引數方程為（為引數），曲線的極座標方程為．若直線與曲線交於、兩點，試求線段的垂直平分線的極座標方程．
d．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知均為正數，且，求的最小值，並指出取得最小值時的值．
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22．（本小題滿分10分）
甲、乙等五名青奧會志願者被隨機地分到四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志願者．
（ⅰ）求甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率；
（ⅱ）求甲、乙兩人不在同乙個崗位服務的概率；
（ⅲ）設隨機變數為這五名志願者中參加崗位服務的人數，求的分布列．
23.（本小題滿分10分）
過拋物線(為不等於2的素數)的焦點f,作與軸不垂直的直線交拋物線於m,n兩點,線段mn的垂直平分線交mn於p點,交軸於q點.
(1)求pq中點r的軌跡l的方程;
(2).證明:l上有無窮多個整點,但l上任意整點到原點的距離均不是整數.
江蘇省建湖高階中學2014屆第一次熱身訓練
數學試題答案
一、填空題
1． 2．二 3． 4．甲 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11．
12． 13． 14．
二、解答題
15．（1）因為，所以，
所以，即4分
所以，又，所以7分
（2）在中，由餘弦定理有，，
所以，由基本不等式，，可得，當且僅當時，取等，…12分
所以的面積，
故的面積的最大值為14分
16．（1）由題意知，為等腰梯形，且，，
所以，又平面平面，平面平面，
所以平面6分
（2）當，平面8分
在梯形中，設，鏈結，則，
因為，，
所以，又，
所以四邊形為平行四邊形，…………11分
所以，又平面，平面，
所以平面14分
17．（1）在直角中，，，則，
所以矩形的面積，………4分
令，，則，
令，得．設，且，列表如下：
所以當，即時，矩形的面積最大． ………………10分
（2）由（1）易得，噴泉的面積，
由知，，所以函式是單調增函式，
所以13分
答：（1）矩形的寬（公尺）時，可使噴泉的面積最大；
（2）噴泉的面積的取值範圍是（單位：平方公尺）． ……14分
18．（1）設，則，解得，
所以橢圓的方程為2分
則直線的方程為，令，可得，
聯立，得，所以，， ……4分
所以．6分
（2）設，，則直線的方程為，
令，可得8分
由可知，，整理得，
又，聯立，解得14分
所以點在定直線上16分
19．（1）由，，成等差數列可得，，
由，，成等差數列可得，，
得，，所以是以6為首項、為公比的等比數列4分
（2）由（1）知，，
得，，得8分代入，得，
所以，整理得，，
所以12分
由是不超過100的正整數，可得，
所以或，
當時，，此時，則，符合題意；
當時，，此時，則，符合題意．
故使成立的所有數對為16分
20．函式，求導得．
（1）當，時，，
若，則恆成立，所以在上單調減；
若，則，令，解得或（舍），
當時，，在上單調減；
當時，，在上單調增．
所以函式的單調減區間是，單調增區間是． ………………4分
（2）當，時，，而，所以
當時，，在上單調減；
當時，，在上單調增．
所以函式在上的最小值為，
所以恆成立，解得或，
又由，得，所以實數的取值範圍是． ……………9分
（3）由知，，而，則，
若，則，所以，
解得，不符合題意11分
故，則，
整理得，，由得13分
令，則，，所以，
設，則，
當時，，在上單調減；
當時，，在上單調增．
所以，函式的最小值為，故實數的最小值為． ……16分
江蘇省建湖高階中學2014屆第一次熱身訓練
數學試題附加題答案
在中，因為是的平分線，
所以．又，所以4分
因為與是圓過同一點的弦，
所以，，即8分
由①、②可知，
所以10分
b．（1）由已知，所以，解得．…………5分
（2）設曲線上任一點在對應的變換作用下對應點，
則，即，
解得，代入曲線得．
即曲線在對應的變換作用下的新曲線的方程是．……………10分
c．直線的普通方程為，
曲線的直角座標方程為5分
所以線段的垂直平分線是過圓心且與直線垂直的直線，
其方程為，
故線段的垂直平分線的極座標方程為．…………10分
d．因為，所以，
因為為正數，所以由柯西不等式得，
當且僅當等式成立．
所以，所以的最小值是8分
此時10分
22．解：（ⅰ）記甲、乙兩人同時參加崗位服務為事件，那麼，
即甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率是3分
（ⅱ）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件，那麼，
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是．………..6分
（ⅲ）隨機變數可能取的值為1，2．事件「」是指有兩人同時參加崗位服務，
則．所以，的分布列是10分
數學二模熱身
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