1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那麼的關係是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的乙個基底，那麼點一定共面；③已知向量是空間的乙個基底，則向量，也是空間的乙個基底。其中正確的命題是（ ）
2．下列命題正確的是（ ）
若與共線，與共線，則與共線；
向量共面就是它們所在的直線共面；
零向量沒有確定的方向；
若，則存在唯一的實數使得；
3．如圖：在平行六面體中， 為與的交點。若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
4．已知：且不共面.若∥,求的值.
5．（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（ ）
存在非零實數k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，則x+y的值是（ ）
a. －3或1 b.3或－1 c. －3 d.1
（3）下列各組向量共面的是（ ）
a. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
b. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
c. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
d. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
例6．已知空間三點a（－2，0，2），b（－1，1，2），c（－3，0，4）。設=， =，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值.
7．（1）設向量與的夾角為，，，
則 ．
8．（1）已知a、b、c為正數，且a+b+c=1，求證：++≤4。
（2）已知f1=i+2j+3k，f2=-2i+3j-k，f3=3i-4j+5k，若f1，f2，f3共同作用於同一物體上，使物體從點m1（1，-2，1）移到點m2(3，1，2)，求物體合力做的功。
9．如圖,直三稜柱中,求證:
10.過△abc的重心任作一直線分別交ab，ac於點d、e．若，，，則的值為（ ）
（a）4 （b）3 （c）2 （d）1
13.已知a＝（，），b＝（，），a與b之間有關係式|ka+b|=|a-kb|，其中k＞0．
（1）用k表示a、b；
（2）求a·b的最小值，並求此時，a與b的夾角的大小．
由已知．
14.. 已知, , ,。
（1）求；
（2）設∠bac＝θ，且已知cos(θ+x)＝，，求sinx
1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那麼的關係是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的乙個基底，那麼點一定共面；③已知向量是空間的乙個基底，則向量，也是空間的乙個基底。其中正確的命題是（ ）
解析：對於①「如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那麼的關係一定共線」；所以①錯誤。②③正確。
點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區別與聯絡
2．下列命題正確的是（ ）
若與共線，與共線，則與共線；
向量共面就是它們所在的直線共面；
零向量沒有確定的方向；
若，則存在唯一的實數使得；
解析：a中向量為零向量時要注意，b中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，d中需保證不為零向量
答案c。
點評：零向量是乙個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質，要兼顧
題型2：空間向量的基本運算
3．如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
解析：顯然；
答案為a。
點評：模擬平面向量表達平面位置關係過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使複雜的線面空間關係代數化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.
考查學生的空間想象能力
4．已知：且不共面.若∥,求的值.
解： ∥,,且即
又不共面,
點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。
題型3：空間向量的座標
5．（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（ ）
存在非零實數k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，則x+y的值是（ ）
a. －3或1 b.3或－1 c. －3 d.1
（3）下列各組向量共面的是（ ）
a. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
b. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
c. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
d. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：（1）d；點撥：由共線向量定線易知；
（2）a 點撥：由題知或；
（3）a 點撥：由共面向量基本定理可得
點評：空間向量的座標運算除了數量積外就是考察共線、垂直時引數的取值情況
6．已知空間三點a（－2，0，2），b（－1，1，2），c（－3，0，4）。設=， =，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值.
思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結果.
解：∵a(－2，0，2)，b（－1，1，2），c(－3，0，4)， =， =，
∴=(1，1，0)， =（－1，0，2）.
(1)cos==－，
∴和的夾角為－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
則k=－或k=2。
點撥：第（2）問在解答時也可以按運算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。
題型4：數量積
7．（1）設向量與的夾角為，，，
則 ．
.解：設向量與的夾角為且∴，則=.
（2）設空間兩個不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等於。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。
解析 （2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.
又∵與的夾角為，∴·=||||cos==.
又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。
另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。
(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.
∴或同理可得或
∵≠，∴或
∴cos<，>=·+·=+=.
∵0≤<，>≤π，∴<，>=。
評述：本題考查向量數量積的運算法則
題型5：空間向量的應用
8．（1）已知a、b、c為正數，且a+b+c=1，求證：++≤4。
（2）已知f1=i+2j+3k，f2=-2i+3j-k，f3=3i-4j+5k，若f1，f2，f3共同作用於同一物體上，使物體從點m1（1，-2，1）移到點m2(3，1，2)，求物體合力做的功。
解析：（1）設=(，，)， =(1，1，1)，
則||=4，||=.
∵·≤||·||，
4.當==時，即a=b=c=時，取「=」號。
（2）解：w=f·s=(f1+f2+f3)·=14。
點評：若=(x，y，z)， =(a，b，c)，則由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。
本題考查||·||≥·的應用，解題時要先根據題設條件構造向量，，然後結合數量積性質進行運算。空間向量的數量積對應做功問題
9．如圖,直三稜柱中,求證:
證明：同理又設為中點,則
又點評：從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關係問題，要用到空間多邊形法則，向量的運算，數量積以及平行,相等和垂直的條件
10.過△abc的重心任作一直線分別交ab，ac於點d、e．若，，，則的值為（ ）
（a）4 （b）3 （c）2 （d）1
解析：取△abc為正三角形易得＝3．選b．
評析：本題考查向量的有關知識，如果按常規方法就比較難處理，但是用特殊值的思想就比較容易處理，考查學生靈活處理問題的能力．
11.如圖，設p、q為△abc內的兩點，且，
＝＋，則△abp的面積與△abq的面積之比為
a． b． c． d．
如下圖，設，，則．
由平行四邊形法則，知np∥ab，所以＝，
同理可得．故，選b
3.是平面內不共線兩向量，已知，若三點共線，則的值是
a．2 b． c． d．
a ，又a、b、d三點共線，則.即，∴，故選.
【總結點評】本題主要考查共線向量的定義和平面向量基本定理的運用. 要求我們熟記公式，掌握常見變形技巧與方法.
12、已知平面向量=(，1)， = ()．
（1）求；
（2）設，（其中），若，試求函式關係式並解不等式．（1
（2）由得
所以變形得：，解得．
13.已知a＝（，），b＝（，），a與b之間有關係式|ka+b|=|a-kb|，其中k＞0．
（1）用k表示a、b；
（2）求a·b的最小值，並求此時，a與b的夾角的大小．
由已知．
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ k＞0， ∴ ．
此時 ∴ ． ∴ ＝60°．
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