2023年高考一輪複習考點熱身訓練：8.4橢圓
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.(2013·泉州模擬)橢圓c：=1(a>b>0)的焦點為f1,f2,離心率為.過點f1的直線l交橢圓c於a，b兩點，且△abf2的周長為8，則b的值為( )
(a)1bc)2d)
2.設直線l：x-2y+2=0過橢圓的左焦點f和乙個頂點b(如圖)，則這個橢圓的離心率e=( )
（abcd）
3.(2013漳州模擬)已知橢圓=1,橢圓左焦點為f1，o為座標原點，a是橢圓上一點，點m**段af1上，且,||=2,則點a的橫座標為( )
(abcd)
4.已知橢圓+=1,若此橢圓上存在不同的兩點a、b關於直線y=4x+m對稱，則實數m的取值範圍是( )
(ab)(,）
(cd)(,）
5.若橢圓+=1的離心率e=，則m的值為( )
（a）1 （b）或 （c） （d）3或
6.已知f1、f2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，a是橢圓上位於第一象限內的一點，點b也在橢圓上，且滿足+=0（o為座標原點），=0，若橢圓的離心率等於,則直線ab的方程是( )
（a）yb）y=
（c）yd）y=
二、填空題（每小題6分，共18分）
7.方程+=1表示橢圓，則k的取值範圍是______．
8.(易錯題)已知f1、f2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，以原點o為圓心，of1為半徑的圓與橢圓在y軸左側交於a、b兩點，若△f2ab是等邊三角形，則橢圓的離心率等於________.
9.(**題)橢圓m: +=1(a>b>0)的左,右焦點分別為f1,f2,p為橢圓m上任一點,且|pf1|·|pf2|的最大值的取值範圍是［2c2，3c2］,其中c=,則橢圓m的離心率e的取值範圍是________.
三、解答題（每小題15分，共30分）
10.(2012·武漢模擬)已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為,且經過點m(4,1),直線l:y=x+m交橢圓於不同的兩點a,b.
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值範圍.
11.(2012·福州模擬)已知橢圓m:=1(a>b>0)的離心率為，短軸的乙個端點到右焦點的距離為2，
(1)試求橢圓m的方程；
(2)若斜率為的直線l與橢圓m交於c、d兩點，點p(1，)為橢圓m上一點，記直線pc的斜率為k1,直線pd的斜率為k2，試問：k1+k2是否為定值？試證明你的結論.
【**創新】
（16分）已知直線x-2y+2=0經過橢圓c: +=1(a>b>0)的左頂點a和上頂點d,橢圓c的右頂點為b，點s是橢圓c上位於x軸上方的動點，直線as,bs與直線l:x=分別交於m,n兩點.
（1）求橢圓c的方程；
（2）求線段mn的長度的最小值；
（3）當線段mn的長度最小時，在橢圓c上是否存在這樣的點t，使得△tsb的面積為？若存在，確定點t的個數，若不存在，請說明理由.
答案解析
1.【解析】選b.由已知可知4a=8,∴a=2,
又e=,∴e2=,∴b=.
2.【解析】選a.b(0,1)，f(-2,0),
故c=2，b=1，a=＝，e==.
3.【解析】選d.設a(x1,y1)則=1,
又f1(-5,0),由知m是af1的中點，∴m(),
∴=4,解得x1=，x2=(捨去).
4.【解析】選b.設a(x1,y1),b(x2,y2),
ab的中點m（x,y)，kab==,
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12 ①,
3x22+4y22=12 ②,
①②兩式相減得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,與y=4x+m聯立得x=-m,y=-3m,而m(x,y)在橢圓的內部，則+＜1,即＜m＜.
【方法技巧】點差法解直線與橢圓相交問題的適用條件及技巧
對於直線與橢圓相交問題，若題設和待求涉及到弦的中點和所在直線的斜率，求解時一般先設交點座標，代入曲線方程，再用平方差公式求解，這種解法，大大減少了將直線方程與橢圓方程聯立求解帶來的繁雜運算.
5.【解析】選d.當橢圓+=1的焦點在x軸上時，
a=，b=，c=，
由e=，得=，解得m=3；
當橢圓+=1的焦點在y軸上時，
a=，b=，c=，
由e=，得=，解得m=.
6.【解題指南】由+=0知，a、b兩點關於原點對稱，設出a點座標,利用向量列方程求解.
【解析】選a.設a(x1,y1)，因為+=，所以
b(-x1,-y1),=(c-x1,-y1)，=(2c,0)，
又因為·=0，所以(c-x1,-y1)·（2c,0)=0，即
x1=c，代入橢圓方程得y1=，因為離心率e=，所以，a=，b=c，a(c,)，所以直線ab的方程是y=.
7.【解析】方程+=1表示橢圓，則
，解得k>3.
答案：k>3
8.【解析】因為△f2ab是等邊三角形，所以a(,)在橢圓+=1上，所以+=1，因為c2=a2-b2，
所以，4a4-8a2c2+c4=0，即e4-8e2+4=0，
所以，e2=4±，e=-1或e=+1（舍）．
答案：-1
【誤區警示】本題易出現答案為-1或+1的錯誤，其錯誤原因是沒有注意到或不知道橢圓離心率的範圍.
9.【解析】∵|pf1|·|pf2|的最大值為a2,
∴由題意知2c2≤a2≤3c2,
∴≤a≤,
∴≤e≤,
∴橢圓離心率e的取值範圍是［,］.
答案:［,］
10.【解析】(1)設橢圓的方程為+=1(a＞b＞0),因為e=,所以a2=4b2,又因為橢圓過點m(4,1),所以+=1,解得b2=5,a2=20,故橢圓方程為+=1.
(2)將y=x+m代入+=1並整理得5x2+8mx+4m2-20=0,δ=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-511.【解析】(1)a=2,c=1.∴b=,
橢圓m的方程為=1.
(2)設直線l的方程為：y=x+d,c(x1,y1),d(x2,y2)聯立直線l的方程與橢圓方程得：
①代入②得：3x2+4(x+d)2=12,
化簡得：x2+dx+d2-3=0 ③，
當δ>0時，即d2-4(d2-3)>0,
即｜d｜<2時，直線l與橢圓有兩交點，
由根與係數的關係得：
所以，k1=,
k2=.
則k1+k2=
== =0,
所以，k1+k2為定值.
【**創新】
【解析】（1）由題知a(-2,0),d(0,1),故a=2,b=1,所以橢圓方程為：+y2=1.
（2）設直線as的方程為y=k(x+2)(k>0)，從而可知m點的座標為(,).
由得，所以可得bs的方程為y=(x-2)，從而可知n點的座標(,)，
∴|mn|=+≥當且僅當k=時等號成立，
故當k=時，線段mn的長度取最小值
（3）由（2）知,當|mn|取最小值時，k=，此時直線bs的方程為x+y-2=0，s(,)，∴|bs|=.要使橢圓c上存在點t，使得△tsb的面積等於，只需t到直線bs的距離等於，所以點t在平行於直線bs且與直線bs的距離等於的直線l′上.直線bs：
x+y-2=0；直線l′：x+y+m=0，得m=或m=,
則直線l′：x+y=0或x+y=0,
，消去y得5x2-20x+21=0,δ<0無解；
,消去y得5x2-12x+5=0,δ=44>0,有兩個解,
所以點t有兩個．
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