2023年高考一輪複習考點熱身訓練：2.4二次函式
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知x∈r,函式f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)為偶函式,則m的值是 ( )
()1234
2.如果函式f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),那麼( )
()f(2)＜f(1)＜f(4f(1)＜f(2)＜f(4)
()f(2)＜f(4)＜f(1f(4)＜f(2)＜f(1)
3.(2013·長春模擬)設二次函式f(x)=ax2+bx+c，如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，則f(x1+x2)等於( )
()c4.如圖是二次函式f(x)=x2-bx+a的部分圖象，則函式g(x)=lnx+f′(x)的零點所在的區間是( )
()(1，22，3)
1)5.（**題）函式f(x)=ax2+(a-3)x+1在區間[-1,+∞)上是遞減的,則實數a的取值範圍是( )
()[-3,03]
()[-2,03,0]
6.（易錯題）若不等式x2+ax+1≥0對於一切x∈(0,]恆成立,則a的最小值是
( )
()0 ()23
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.（2012·福州模擬）已知二次函式f(x)=ax2+bx+1的值域為［0，+∞）且f(-1)=0,則ab
8.若函式f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈r)是偶函式，且它的值域為(-∞,4]，則該函式的解析式f(x
9.(2012·泉州模擬)若函式y=x2-3x-4的定義域為[0,m],值域為[-,-4],則m的取值範圍為
三、解答題(每小題15分，共30分)
10.（2012·廈門模擬)已知函式f(x)=x2+(lga+2)x+lgb滿足f(-1)=-2且對於任意x∈r,恒有f(x)≥2x成立.
（1）求實數a,b的值；
（2）解不等式f(x)11.(2012·長沙模擬)已知函式f(x)=x2-2ax+5(a＞1).
(1)若f(x)的定義域和值域均是［1,a］,求實數a的值;
(2)若對任意的x1,x2∈［1,a+1］,總有|f(x1)-f(x2)|≤4,求實數a的取值範圍.
【**創新】
(16分)已知直線ab過x軸上一點a(2,0)且與拋物線y=ax2相交於b(1,-1)、兩點.
(1)求直線和拋物線對應的函式解析式.
(2)問拋物線上是否存在一點,使s△oad=s△obc?若存在,
請求出點座標,若不存在,請說明理由.
答案解析
1.【解析】選.由已知f(-x)=f(x)(m-2)x=0,
又x∈r,∴m-2=0,得m=2.
2.【解析】選.依題意,函式f(x)=x2+bx+c的對稱軸方程為
x=2,且f(x)在[2,+∞)上為增函式,
因為f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2＜3＜4,
∴f(2)＜f(3)＜f(4),即f(2)＜f(1)＜f(4).
3.【解析】選.∵f(x1)=f(x2)(x1≠x2),
∴,即x1+x2=-,∴f(x1+x2)=f(-)=a(-)2+b·(-)+c=c.
4.【解析】選.由二次函式的圖象知
又f′(x)=2x-b,∴g(x)=lnx+2x-b,
則g()=ln+2×-b=ln+1-b,
∵ln＜0,1-b＜0,∴g()＜0,
g(1)=ln1+2-b=2-b＞0,
∴g(1)·g()＜0,故選.
5.【解析】選.當a=0時,f(x)=-3x+1顯然成立,
當a≠0時，需解得-3≤a＜0,
綜上可得-3≤a≤0.
【誤區警示】本題易忽視a=0這一情況而誤選,失誤的原因是將關於x的函式誤認為二次函式.
6.【解析】選.方法一：設g(a)=ax+x2+1,
∵x∈(0,],∴g(a)為單調遞增函式.
當x=時滿足：
a++1≥0即可，解得a≥-.
方法二：由x2+ax+1≥0得a≥-(x+)在(0,]上恆成立,
令g(x)=-(x+),則知g(x)在(0,]為增函式,
∴g(x)max=g()=-,∴a≥-.
【方法技巧】關於二元不等式恆成立問題的求解技巧：
(1)變換主元法：求解二元不等式,在其中乙個元所在範圍內恆成立問題，當正面思考較繁或難以入手時，我們可以變換主元，將問題轉化為求解關於另乙個變數的函式的最值或值域問題，從而求解.
(2)分離引數法：根據題設條件將引數(或含有引數的式子)分離到不等式的左邊，從而將問題轉化為求不等式右邊函式的最值問題.
7.【解析】由題意知,解得.
答案：1 2
8.【解題指南】化簡f(x)，函式f(x)為偶函式，則一次項係數為0可求b.值域為(-∞,4],則最大值為4，可求a，即可求出解析式.
【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函式，則其圖象關於y軸對稱，
∴2a+ab=0，∴b=-2或a=0(捨去).
又∵f(x)=-2x2+2a2且值域為(-∞,4]，
∴2a2=4，f(x)=-2x2+4．
答案：-2x2+4
9.【解題指南】可作出函式y=(x-)2-的圖象，數形結合求解.
【解析】y=x2-3x-4=(x-)2-,
對稱軸為x=,
當x=時,y=-,
∴m≥,
而當x=3時,y=-4,∴m≤3.
綜上：≤m≤3.
答案：≤m≤3
10.【解析】(1)由f(-1)=-2,知lgb-lga+1=0，
∴=10
又f(x)≥2x恆成立，有x2+x·lga+lgb≥0恆成立，
故δ＝（lga）2-4lgb≤0.
將①式代入上式得：（lgb）2-2lgb+1≤0,
即（lgb-1）2≤0,故lgb=1,即b=10,
∴a=100.
(2)f(x)=x2+4x+1,f(x)即x2+4x+1∴x2+3x-4<0,
解得：-4∴不等式的解集為{x|-411.【解析】(1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a＞1),
∴f(x)在［1,a］上是減函式，又定義域和值域均為［1,a］，∴即解得a=2.
(2)若a≥2,又x=a∈［1,a+1］，且(a+1)-a≤a-1,
∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.
∵對任意的x1,x2∈［1,a+1］,總有|f(x1)-f(x2)|≤4,
∴f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a2)≤4,
解得-1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
若1＜a＜2,f(x)max=f(a+1)=6-a2,
f(x)min=f(a)=5-a2,
f(x)max-f(x)min≤4顯然成立,
綜上1＜a≤3.
【**創新】
【解析】(1)設直線對應的函式解析式為y=kx+b,
由題知,直線過點(2,0),(1,-1),
∴解得k=1,b=-2.
∴直線的解析式為y=x-2,
又拋物線y=ax2過點(1,-1),∴a=-1.
∴拋物線的解析式為y=-x2.
(2)直線與拋物線相交於、兩點,故由
方程組解得、兩點座標為
(1,-1),(-2,-4).由圖象可知,
s△obc=s△oac-s△oab=×|-4|×2-
×|-1|×2=3.假設拋物線上存在一點,使
s△oad=s△obc,
可設(t,-t2),
∴s△oad=×2×t2=t2,
∴t2=3,∴t=或t=-.
即存在這樣的點(,-3)或(-,-3).
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