第十一章簡易邏輯
1．理解邏輯聯結詞「或」、「且」、「非」的含義；理解四種命題及其相互關係；掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義．
2．學會運用數形結合、分類討論的思想方法分析和解決有關集合問題，形成良好的思維品質；學會判斷和推理，解決簡易邏輯問題，培養邏輯思維能力．
1．簡易邏輯是乙個新增內容，據其內容的特點，在高考中應一般在選擇題、填空題**現，如果在解答題**現，則只會是中低檔題．
2．集合、簡易邏輯知識，作為一種數學工具，在函式、方程、不等式、排列組合及曲線與方程等方面都有廣泛的運用，高考題中常以上面內容為載體，以集合的語言為表現形式，結合簡易邏輯知識考查學生的數學思想、數學方法和數學能力，題型常以解答題的形式出現．
第1課時邏輯聯結詞和四種命題
一、邏輯聯結詞
1． 可以的語句叫做命題．命題由兩部分構成；
命題有之分；數學中的定義、公理、定理等都是命題．
2．邏輯聯結詞有不含的命題是簡單命題．
由的命題是復合命題．復合命題的構成形式有三種其中p，q都是簡單命題)．
3．判斷復合命題的真假的方法—真值表：「非p」形式的復合命題真假與p的當p與q都真時，p且q形式的復合命題其他情形當p與q都時，「p或q」復合形式的命題為假，其他情形
二、四種命題
1．四種命題：原命題：若p則q；逆命題否命題逆否命題
2．四種命題的關係：原命題為真，它的逆命題否命題逆否命題原命題與它的逆否命題同否命題與逆命題同
3．反證法：欲證「若p則q」為真命題，從否定其出發，經過正確的邏輯推理匯出矛盾，從而判定原命題為真，這樣的方法稱為反證法．
例1. 下列各組命題中，滿足「p或q」為真，「p且q」為假，「非p」為真的是 （ ）
a．p:0＝；q:0∈
b．p：在abc中，若cos2a＝cos2b，則a＝b； y＝sinx在第一象限是增函式
c．；不等式的解集為
d．p：圓的面積被直線平分；q：橢圓的一條準線方程是x＝4
解：由已知條件，知命題p假且命題q真.選項(a)中命題p、q均假，排除；選項(b)中，
命題p真而命題q假，排除；選項(d)中，命題p和命題q都為真，排除；故選(c)．
變式訓練1：如果命題「p或q」是真命題，「p且q」是假命題.那麼（ ）
a．命題p和命題q都是假命題
b．命題p和命題q都是真命題
c．命題p和命題「非q」真值不同
d．命題q和命題p的真值不同
解： d
例2. 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，並判斷它們的真假:
(1) 若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根；
(2) 若ab＝0，則a＝0或b＝0；
(3) 若x2＋y2＝0，則x、y全為零.
解：(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q＜1，為假命題．否命題：
若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無實根，為假命題．逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q≥1，為真命題．
(2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0，為真命題．
否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0，為真命題．
逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0，為真命題．
(3)逆命題：若x、y全為零，則x2＋y2＝0，為真命題．
否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為零，為真命題．
逆否命題：若x、y不全為零，則x2＋y2≠0，為真命題．
變式訓練2：寫出下列命題的否命題，並判斷原命題及否命題的真假：
（1）如果乙個三角形的三條邊都相等，那麼這個三角形的三個角都相等；
（2）矩形的對角線互相平分且相等；
（3）相似三角形一定是全等三角形.
解：（1）否命題是：「如果乙個三角形的三條邊不都相等，那麼這個三角形的三個角也不都相等」.
原命題為真命題，否命題也為真命題.
（2）否命題是：「如果四邊形不是矩形，那麼對角線不互相平分或不相等」
原命題是真命題，否命題是假命題.
（3）否命題是：「不相似的三角形一定不是全等三角形」.
原命題是假命題，否命題是真命題.
例3. 已知p：有兩個不等的負根，q：無實根．若p或q為真，p且q為假，求m的取值範圍．
分析：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有乙個為假，所以，「p假且q真」或「p真且q假」.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論．
解：p：有兩個不等的負根．
q：無實根．
因為p或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反．
(ⅰ) 當p真且q假時，有；
(ⅱ) 當p假且q真時，有．
綜合，得的取值範圍是．
變式訓練3：已知a>0,設命題p:函式y=ax在r上單調遞減，q：不等式x+|x-2a|>1的解集為r,若p和q中有且只有乙個命題為真命題，求a的取值範圍.
解 ： 由函式y=ax在r上單調遞減知0則y=不等式x+|x-2a|>1的解集為r，只要ymin>1即可，而函式y在r上的最小值為2a，所以2a>1，即a>即q真a>若p真q假,則0例4. 若a，b，c均為實數，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋．求證：
a、b、c中至少有乙個大於0．
證明：假設都不大於0，即，則而＝
，．相矛盾．因此中至少有乙個大於0．
變式訓練4：已知下列三個方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有乙個方程有實根，求實數a的取值範圍.
解：設已知的三個方程都沒有實根．
則解得．
故所求a的取值範圍是a≥－1或a≤－．
1．有關「p或q」與「p且q」形式的復合命題語句中，字面上未出現「或」與「且」字，此時應從語句的陳述中搞清含義從而分清是「p或q」還是「p且q」形式．
2．當乙個命題直接證明出現困難時，通常採用間接證明法，反證法就是一種間接證法．
3．反證法的第一步為否定結論，需要掌握常用詞語的否定（如「至少」等），而且推理過程中，一定要把否定的結論當條件用，從而推出矛盾．用反證法證明命題的一般步驟為：（1）假設命題的結論不成立，即假設命題結論的反面成立；（2）從這個假設出發，經過正確的推理論證得出矛盾；（3）由矛盾判斷假設不正確，從而肯定所證命題正確．
第2課時充要條件
1．充分條件：如果則p叫做q的條件，q叫做p的條件．
2．必要條件：如果則p叫做q的條件，q叫做p的條件．
3．充要條件：如果且則p叫做q的條件．
例1．在下列各題中，判斷a是b的什麼條件，並說明理由．
1． a：，b：方程有實根；
2． a：，b： ；
3．a：；b：；
4．a：圓與直線相切，b：
分析：要判斷a是b的什麼條件，只要判斷由a能否推出b和由b能否推出a即可．
解：(1) 當，取，則方程無實根；若方程有實根，則由推出或6，由此可推出．所以a是b的必要非充分條件．
(2)若則
所以成立
若成立取，知不一定成立，
故a是b的充分不必要條件．
(3) 由，由解得，所以a推不出b，但b可以推出a，故a是b的必要非充分條件．
(4) 直線與圓相切圓(0，0)到直線的距離，即＝＝.所以a是b的充要條件.
變式訓練1：指出下列命題中，p是q的什麼條件（在「充分不必要條件」、「必要不充分條件」、「充要條件」、「既不充分也不必要條件」中選出一種作答）.
（1）在△abc中，p：∠a=∠b，q：sina=sinb；
（2）對於實數x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
（3）非空集合a、b中，p：x∈a∪b，q：x∈b；
（4）已知x、y∈r，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.
解： （1）在△abc中，∠a=∠bsina=sinb，反之，若sina=sinb，因為a與b不可能互補（因為三角形三個內角和為180°),所以只有a=b.故p是q的充要條件.
(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,顯然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要條件,根據原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不必要條件.
(3)顯然x∈a∪b不一定有x∈b,但x∈b一定有x∈a∪b,所以p是q的必要不充分條件.
(4)條件p:x=1且y=2,條件q:x=1或y=2,
所以pq但qp,故p是q的充分不必要條件.
例2. 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：關於x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小於1的正根，試分析p是q的什麼條件.
解：若方程x2＋mx＋n＝0有兩個小於1的正根，設為x1、x2．
則0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n
∴0＜－m＜2，0＜n＜1 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1
∴p是q的必要條件．
又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨設m＝－1，n＝．
則方程為x2－x＋＝0，∵△＝(－1)2－4×＝－1＜0． ∴方程無實根 ∴p是q的非充分條件．
綜上所述，p是q的必要非充分條件．
變式訓練2：證明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
證明：充分性：若ac<0,則b2-4ac>0,且<0,
∴方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程有一正根和一負根.
必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根，則=b2-4ac>0,x1x2=<0,∴ac<0.
綜上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
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