第十四章推理與證明
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14.1 合情推理與演繹推理
典例精析
題型一運用歸納推理發現一般性結論
【例1】 通過觀察下列等式，猜想出乙個一般性的結論，並證明結論的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝.
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.
左邊＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝(sin2α＋cos2α)＝＝右邊.
【點撥】先猜後證是一種常見題型；歸納推理的一些常見形式：一是「具有共同特徵型」，二是「遞推型」，三是「迴圈型」(週期性).
【變式訓練1】設直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有a＋b＜c＋h成立，某同學通過模擬得到如下四個結論：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正確結論的序號是 ；
進一步模擬得到的一般結論是
【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈n*).
題型二運用模擬推理拓展新知識
【例2】 請用模擬推理完成下表：
【解析】 本題由已知的前兩組模擬可得到如下資訊：
①平面中的三角形與空間中的三稜錐是模擬物件；②三角形各邊的邊長與三稜錐各面的面積是模擬物件；③三角形邊上的高與三稜錐面上的高是模擬物件；④三角形的面積與三稜錐的體積是模擬物件；⑤三角形的面積公式中的「二分之一」與三稜錐的體積公式中的「三分之一」是模擬物件.
由以上分析可知：
故第三行空格應填：三稜錐的體積等於其內切球半徑與三稜錐表面積的乘積的三分之一.
本題結論可以用等體積法，將三稜錐分割成四個小的三稜錐去證明，此處從略.
【點撥】模擬推理的關鍵是找到合適的模擬物件.平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以模擬到立體幾何中，得到類似的結論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的模擬列表如下：
【變式訓練2】面積為s的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內任一點p到第i條邊的距離為hi(i＝1,2,3,4)，(1)若＝＝＝＝k，則＝ ；(2)模擬以上性質，體積為v的三稜錐的第i個面的面積記為si(i＝1,2,3,4)，此三稜錐內任一點q到第i個面的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則＝ .
【解析】；.
題型三運用「三段論」進行演繹推理
【例3】已知函式f(x)＝ln ax－(a≠0).
(1)求此函式的單調區間及最值；
(2)求證：對於任意正整數n，均有1＋＋＋…＋≥ln.
【解析】(1)由題意f′(x)＝.
當a＞0時，函式f(x)的定義域為(0，＋∞)，
此時函式在(0，a)上是減函式，在(a，＋∞)上是增函式，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無最大值.
當a＜0時，函式f(x)的定義域為(－∞，0)，
此時函式在(－∞，a)上是減函式，在(a,0)上是增函式，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無最大值.
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝ln x－≥f(1)＝0，
故≥1－ln x＝ln，
取x＝1,2,3，…，n，則1＋＋＋…＋≥ln e＋ln＋…＋ln＝ln.
【點撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而「三段論」是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題出現的頻率較大.
【變式訓練3】已知函式f(x)＝eg(x)，g(x)＝(e是自然對數的底數)，
(1)若對任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求滿足條件的最大整數k的值；
(2)求證：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈n*).
【解析】(1)由條件得到f(1)＜2＜2k＜2ln 2＋1＜3，猜測最大整數k＝2，
現在證明＜x＋1對任意x＞0恆成立：
＜x＋1等價於2－＜ln(x＋1)ln(x＋1)＋＞2，
設h(x)＝ln(x＋1)＋，則h′(x)＝－＝.
故x∈(0,2)時，h′(x)＜0，當x∈(2，＋∞)時，h′(x)＞0.
所以對任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即＜x＋1對任意x＞0恆成立，
所以整數k的最大值為2.
(2)由(1)得到不等式2－＜ln(x＋1)，
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－＞2－，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－)＋(2－)＋…＋[2－]＝2n－3[＋＋…＋]＝2n－3＋＞2n－3，
所以原不等式成立.
總結提高
合情推理與演繹推理是兩種基本的思維推理方式.儘管合情推理(歸納、模擬)得到的結論未必正確，但歸納推理與模擬推理具有猜想和發現新結論、探索和提供證明的新思路的重要作用，特別在數學學習中，我們可以由熟悉的、已知的知識領域運用歸納、模擬思維獲取發現和創造的靈感去探索陌生的、未知的知識領域.演繹推理是數學邏輯思維的主要形式，擔負著判斷命題真假的重要使命.
如果說合情推理是以感性思維為主，只需有感而發；那麼演繹推理則是以理性思維為主，要求言必有據.在近幾年高考中一道合情推理的試題往往會成為一套高考試題的特色與亮點，以彰顯數學思維的魅力.其中數列的通項公式、求和公式的歸納、等差數列與等比數列、平面與空間、圓錐曲線與圓、楊輝三角等的模擬的考查頻率較大.
而演繹推理的考查則可以滲透到每一道試題中.
14.2 直接證明與間接證明
典例精析
題型一運用綜合法證明
【例1】設a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.
【證明】因為a＋b＝1，
所以＋＋＝＋＋＝1＋＋1＋＋≥2＋＋＝2＋2＋4＝8，當且僅當a＝b＝時等號成立.
【點撥】在用綜合法證明命題時，必須首先找到正確的出發點，也就是能想到從**起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯想已知條件所具備的各種性質，逐層推進，從已知逐漸引出結論.
【變式訓練1】設a，b，c＞0，求證：＋＋≥a＋b＋c.
【證明】因為a，b，c＞0，根據基本不等式，
有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.
三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).
即＋＋≥a＋b＋c.
題型二運用分析法證明
【例2】設a、b、c為任意三角形三邊長，i＝a＋b＋c，s＝ab＋bc＋ca.求證：i2＜4s.
【證明】由i2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2s，
故要證i2＜4s，只需證a2＋b2＋c2＋2s＜4s，即a2＋b2＋c2＜2s.
欲證上式，只需證a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，
即證(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，
只需證三括號中的式子均為負值即可，
即證a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，
即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，
顯然成立，因為三角形任意一邊小於其他兩邊之和.
故i2＜4s.
【點撥】(1)應用分析法易於找到思路的起始點，可探求解題途徑.
(2)應用分析法證明問題時要注意：嚴格按分析法的語言表達；下一步是上一步的充分條件.
【變式訓練2】已知a＞0，求證：－≥a＋－2.
【證明】要證－≥a＋－2，
只要證＋2≥a＋＋.
因為a＞0，故只要證(＋2)2≥(a＋＋)2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2 (a＋)＋2，
從而只要證2≥(a＋)，
只要證4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，
而該不等式顯然成立，故原不等式成立.
題型三運用反證法證明
【例3】 若x，y都是正實數，且x＋y＞2.求證：＜2或＜2中至少有乙個成立.
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