題組層級快練(三十一)
1．已知m(3，－2)，n(－5，－1)，且＝，則p點的座標為( )
a．(－8,1b．(－1，－)
c．(1，) d．(8，－1)
答案 b
解析設p(x，y)，則＝(x－3，y＋2)．
而＝(－8,1)＝(－4，)，
∴解得∴p(－1，－)．故選b.
2．已知點a(－1,1)，b(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，則實數y的值為( )
a．5 b．6
c．7 d．8
答案 c
解析 ＝(3，y－1)，a＝(1,2)，∥a，則2×3＝1×(y－1)，解得y＝7，故選c.
3．(2015·廣東惠州模擬)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，則|p＋q|的值為( )
a. b.
c．5 d．13
答案 b
解析由題意可得2×6＋3x＝0，∴x＝－4.∴|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝.故選b.
4．(2015·唐山摸底考試)已知點a(6,2)，b(1,14)，則與共線的單位向量為( )
a．(，－)或(－，) b．(，－)
c．(－，)或(，－) d．(－，)
答案 c
解析因為點a(6,2)，b(1,14)，所以＝(－5,12)，||＝13.與共線的單位向量為±＝±(－5,12)＝±(－，)．故選c.
5．(2015·湖北襄樊一模)已知＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若a，b，c三點不能構成三角形，則實數k應滿足的條件是( )
a．k＝－2 b．k＝
c．k＝1 d．k＝－1
答案 c
解析若點a，b，c不能構成三角形，則向量與共線. 因為＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1，故選c.
6．在abcd中，若＝(3,7)，＝(－2,3)，對角線交點為o，則等於( )
a．(－，5) b．(－，－5)
c．(，－5) d．(，5)
答案 b
解析1,10)＝(－，－5)．
7.如圖所示，平面內的兩條相交直線op1和op2將該平面分割成四個部分ⅰ，ⅱ，ⅲ，ⅳ(不包含邊界)．設＝m＋n，且點p落在第ⅲ部分，則實數m，n滿足( )
a．m>0，n>0 b．m>0，n<0
c．m<0，n>0 d．m<0，n<0
答案 b
解析由題意及平面向量基本定理易得在＝m＋n中m>0，n<0，故選b.
8．已知命題：「若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0」是真命題，則下面對a，b的判斷正確的是( )
a．a與b一定共線 b．a與b不一定共線
c．a與b一定垂直 d．a與b中至少有乙個為0
答案 b
解析由向量共線基本定理易知．
9．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c為( )
a．(1，－1) b．(－1,1)
c．(－4,6) d．(4，－6)
答案 d
解析由題知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，選d.
10．(2014·陝西卷理改編)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，則tan(α－)等於( )
a．3 b．－3
c. d．－
答案 b
解析 ∵a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，
∴＝，∴tanα＝－.
∴tan(α－)＝＝＝－3.
11．如圖所示，a，b分別是射線om，on上的兩點，且＝，＝，給出下列向量：
①＋2； ②＋；
③＋； ④＋；
⑤－.這些向量中以o為起點，終點在陰影區域內的是( )
a．①② b．①④
c．①③ d．⑤
答案 c
解析由向量的平行四邊形法則利用尺規作圖，可得：終點在陰影區域內的是①③.
12．如圖所示，在四邊形abcd中，ab＝bc＝cd＝1，且∠b＝90°，∠bcd＝135°，記向量＝a，＝b，則＝( )
a. a－(1＋)b
b．－ a＋(1＋)b
c．－ a＋(1－)b
d. a＋(1－)b
答案 b
解析根據題意可得△abc為等腰直角三角形，由∠bcd＝135°，得∠acd＝135°－45°＝90°.以b為原點，ab所在直線為x軸，bc所在直線為y軸建立如圖所示的直角座標系，並作de⊥y軸於點e，則△cde也為等腰直角三角形．由cd＝1，得ce＝ed＝，則a(1,0)，b(0,0)，c(0,1)，d(，1＋)，∴＝(－1,0)，＝(－1,1)，＝(－1,1＋)．令＝λ＋μ，則有得∴＝－a＋(1＋)b.
13．在平面直角座標系中，o為座標原點，設向量＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，則c點所有可能的位置區域用陰影表示正確的是( )
答案 a
解析由題意知＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求區域包含原點，取λ＝0，μ＝1，知所求區域包含(1,3)，從而選a.
14．已知a(－3,0)，b(0，)，o為座標原點，c在第二象限，且∠aoc＝30°，＝λ＋，則實數λ的值為________．
答案 1
解析由題意知＝(－3,0)，＝(0，)，則＝(－3λ，)．
由∠aoc＝30°知以x軸的非負半軸為始邊，oc為終邊的乙個角為150°，
∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.
15．若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行於y軸，a＝(2，－1)，則b
答案 (－2,0)或(－2,2)
解析設b＝(x，y)，則a＋b＝(x＋2，y－1)．
∵|a＋b|＝1，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1.
又∵a＋b平行於y軸，∴x＝－2，代入上式，得y＝0或2.
∴b＝(－2,0)或b＝(－2,2)．
16．已知||＝1，||＝，·＝0，點c在∠aob內，且∠aoc＝30°.設＝m＋n (m，n∈r)，則
答案 3
解析方法一：如圖所示，
∵·＝0，∴⊥.
不妨設||＝2，過c作⊥於d，⊥於e，則四邊形odce是矩形．
＝＋＝＋.
∵||＝2，∠cod＝30°，
∴||＝1，||＝.
又∵||＝，||＝1，
故＝，＝.
∴＝＋，此時m＝，n＝.
∴＝＝3.
方法二：由·＝0知△aob為直角三角形，以oa，ob所在直線分別為x，y軸建立平面直角座標系，則可知＝(1,0)，＝(0，)．又由＝m＋n，可知＝(m， n)，故由tan30°＝＝，可知＝3.
17．如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中，i，j分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，試確定實數m的值，使a，b，c三點共線．
答案 m＝－2
解析方法一：∵a，b，c三點共線，即與共線，
∴存在實數λ，使得＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)．
∴∴m＝－2.
即m＝－2時，a，b，c三點共線．
方法二：依題意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
則＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．而，共線，
∴1×m＋2×1＝0，∴m＝－2.
故當m＝－2時，a，b，c三點共線．
18．已知a，b，c三點的座標分別為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，並且＝，＝.
(1)求e，f的座標；
(2)求證：∥.
答案 (1)e(－，)，f(，0) (2)略
解析 (1)設e，f兩點的座標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則依題意，得＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
1)．∴＝(x1，y1)－(－1,0)＝(，)，
＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)．
∴(x1，y1)＝(，)＋(－1,0)＝(－，)，
(x2，y2)＝(－，1)＋(3，－1)＝(，0)．
∴e的座標為(－，)，f的座標為(，0)．
(2)由(1)知(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)．
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－)．
又4×(－)－(－1)×＝0，
∴∥.19．(2015·山東萊蕪一模)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈r.
(1)求|a＋tb|的最小值及相應的t值；
(2)若a－tb與c共線，求實數t的值．
答案 (1)t＝時，最小值為 (2)
解析 (1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，
∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)．
∴|a＋tb|＝＝
＝≥＝，
當且僅當t＝時取等號，即|a＋tb|的最小值為，此時t＝.
(2)∵a－tb＝(－3,2)－t(2,1)＝(－3－2t,2－t)，
又a－tb與c共線，c＝(3，－1)，
∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0.解得t＝.
1.已知c＝ma＋nb，設a，b，c有共同起點，a，b不共線，要使a，b，c，終點在一直線l上，則m，n滿足( )
a．m＋n＝1
b．m＋n＝0
c．m－n＝1
d．m＋n＝－1
答案 a
解析 ∵＝λ，∴c－a＝λ(b－a)．
∴ma＋nb－a＝λb－λa.
∴(m－1＋λ)a＋(n－λ)b＝0.
∴m＋n＝1.
2．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈r)，d＝a－b.如果c∥d，那麼( )
a．k＝1且c與d同向 b．k＝1且c與d反向
c．k＝－1且c與d同向 d．k＝－1且c與d反向
答案 d
解析 ∵c∥d，∴(ka＋b)∥(a－b)，∴存在λ>0使ka＋b＝λ(a－b)，∴
∴c＝－a＋b，∴c與d反向．
3．設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，則「a＝(4,2)」是「a∥b」成立的是( )
a．充要條件 b．必要不充分條件
c．充分不必要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 c
解析若a＝(4,2)，則|a|＝2，且a∥b都成立；
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