題組層級快練(四十五)
1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( )
a．a2＋b2b．2
c．2ab d．a＋b
答案 d
解析只需比較a2＋b2與a＋b.由於a，b∈(0,1)，∴a22．若x>0，則x＋的最小值是( )
a．2 b．4
c. d．2
答案 d
解析由基本不等式可得x＋≥2＝2，當且僅當x＝即x＝時取等號，故最小值是2.
3．若0a. b.
c．2 d.
答案 d
4．已知函式g(x)＝2x，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，則ab的最大值為( )
a. b.
c．2 d．4
答案 b
解析 ∵2a2b＝2a＋b＝2，∴a＋b＝1，ab≤()2＝，故選b.
5．下列函式中，最小值為4的是( )
a．y＝x＋
b．y＝sinx＋(0c．y＝4ex＋e－x
d．y＝log3x＋logx3(0答案 c
解析注意基本不等式等號成立的條件是「a＝b」，同時考慮函式的定義域，①x的定義域為，函式沒有最小值；②若sinx＝取到最小值4，則sin2x＝4，顯然不成立．④沒有最小值．故選c.
6．下列命題中正確的是( )
a．函式y＝x＋的最小值為2
b．函式y＝的最小值為2
c．函式y＝2－3x－(x>0)的最小值為2－4
d．函式y＝2－3x－(x>0)的最大值為2－4
答案 d
解析 y＝x＋的定義域為，當x>0時，有最小值2，當x<0時，有最大值－2，故a項不正確；
y＝＝＋≥2，
∵≥，∴取不到「＝」，故b項不正確；
∵x>0時，3x＋≥2·＝4，
當且僅當3x＝，即x＝時取「＝」，
∴y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故c項不正確，d項正確．
7．「a＝」是「對任意的正數x,2x＋≥1」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 a
解析令p：「a＝」，q：「對任意的正數x,2x＋≥1」．
若p成立，則a＝，則2x＋＝2x＋≥2＝1，即q成立，pq；
若q成立，則2x2－x＋a≥0恆成立，解得a≥，∴q/ p.
∴p是q的充分不必要條件．
8．設實數x，y，m，n滿足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那麼mx＋ny的最大值是( )
a. b．2
c. d.
答案 a
解析方法一：設x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈r.
∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故選a.
方法二：m2＋n2＝3()2＋()2＝1，
∴2＝x2＋y2＋()2＋()2≥(mx＋ny)．
∴mx＋ny≤.
9．若x，y是正數，則(x＋)2＋(y＋)2的最小值是( )
a．3 b.
c．4 d.
答案 c
解析原式＝x2＋＋＋y2＋＋≥4.
當且僅當x＝y＝時取「＝」號．
10．(2015·安徽池州二中月考)已知a>0，b>0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是( )
a. b．4
c. d．5
答案 c
解析依題意得＋＝(＋)(a＋b)＝×[5＋(＋)]≥×(5＋2)＝，當且僅當即a＝，b＝時取等號，即＋的最小值是.
11．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值為( )
a．3 b．6
c．9 d．12
答案 a
12．(1)當x>1時，x＋的最小值為________；
(2)當x≥4時，x＋的最小值為________．
答案 (1)5 (2)
解析 (1)∵x>1，∴x－1>0.
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5.
(當且僅當x－1＝.即x＝3時「＝」號成立)
∴x＋的最小值為5.
(2)∵x≥4，∴x－1≥3.
∵函式y＝x＋在[3，＋∞)上為增函式，
∴當x－1＝3時，y＝(x－1)＋＋1有最小值.
13．若a>0，b>0，a＋b＝1，則ab＋的最小值為________．
答案 解析 ab≤()2＝，
當且僅當a＝b＝時取等號．
y＝x＋在x∈(0，]上為減函式．
∴ab＋的最小值為＋4＝.
14．(2013·四川文)已知函式f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a
答案 36
解析 f(x)＝4x＋≥2＝4(當且僅當4x＝，即a＝4x2時取等號)，則由題意知a＝4×32＝36.
15．已知x＞0，y＞0,2x＋y＝1，則xy的最大值為________．
答案 解析 ∵2xy≤()2＝，
∴xy≤.(當且僅當2x＝y即x＝，y＝時取「＝」號．)
∴xy的最大值為.
16．設x>0，y>0，且＋＝，則xy的最小值為________．
答案 16
解析由＋＝，化為3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)(2＋x)，整理為xy＝x＋y＋8.∵x，y均為正實數，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8，∴()2－2－8≥0，解是≥4，即xy≥16，當且僅當x＝y＝4時取等號，∴xy的最小值為16.
17．已知a>b>0，求a2＋的最小值．
答案 16
思路由b(a－b)求出最大值，從而去掉b，再由a2＋，求出最小值．
解析 ∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝16.
當a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝時等號成立．
∴a2＋的最小值為16.
18．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
答案 (1)1 (2)2
解析由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，得
(1)∵x>0，y>0，
∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1.
∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0.
∴(3＋1)(－1)≥0.
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